Mikä on helpoin tapa osoittaa, että matriisin rank (lineaarisesti riippumattomien sarakkeiden lkm) pätee rank A=rank A^T (A^T on A:n transpoosi)
Itse ajattelin seuraavaa, koska elementaarimatriiseilla vasemmalta kertominen ei muuta matriisin rank, niin matriisi A voidaan muuttaa kanoniseen muotoon C ja pääykkösistä laskea suoraan rank A. Eli rank A=rank C.
E1E2...EmA=C (Ei:t elementaari matriiseja, C kanoninen muoto)
Mutta sitten tulee vaikeuksia, miten tätä voisi hyödyntää transpoosin rankiin. Vai onko jokin fiksumpi tapa.
Itse ajattelin seuraavaa, koska elementaarimatriiseilla vasemmalta kertominen ei muuta matriisin rank, niin matriisi A voidaan muuttaa kanoniseen muotoon C ja pääykkösistä laskea suoraan rank A. Eli rank A=rank C.
E1E2...EmA=C (Ei:t elementaari matriiseja, C kanoninen muoto)
Mutta sitten tulee vaikeuksia, miten tätä voisi hyödyntää transpoosin rankiin. Vai onko jokin fiksumpi tapa.
Vastaukset 2
Vanhimmat
Myös oikelata kertominen elementaarimatriiseilla pitää rank ennallaan.
Elemntaarimatriiseille E pätee E^T ja E^(-1) ovat myös elementaarimatriiseja
Nyt
A^T=C^TE1^(T)-1))..Em^(T(-1))
Joten rank A^T=rank C^T
Ja kun tarkastelet kanonista matriisia niin on selvää, että pääykköset eivät vähene ja lisäänny kun sen transpoosi saatetaan kanoniseen muotoon eli rank C=rank C^T, josta väite mot.
säilytä rankinkin.