Miten ihmessä seuraavanlainen derivaatta lasketaan?
f(x1,x2,x3,x) = x x1*h1 x2*h2 x3*h3, missä
hi:t on vakioita.
Lisäksi tiedetään, että x=x1 x2 x3.
Mikä on f:n derivaatta x:n suhteen?
Mulla menee aivot ihan solmuun tämän kanssa. Pystyykö tätä edes laskemaan? Pitääkö laskea funktionaalisena derivaattana???
Yhdessä fysiikan artikkelissa on laskettu
(df/dx)*(x/f) = x/f sum_i (x_i/f)*(df/dxi)
Onko tässä mitään tolkkua?
f(x1,x2,x3,x) = x x1*h1 x2*h2 x3*h3, missä
hi:t on vakioita.
Lisäksi tiedetään, että x=x1 x2 x3.
Mikä on f:n derivaatta x:n suhteen?
Mulla menee aivot ihan solmuun tämän kanssa. Pystyykö tätä edes laskemaan? Pitääkö laskea funktionaalisena derivaattana???
Yhdessä fysiikan artikkelissa on laskettu
(df/dx)*(x/f) = x/f sum_i (x_i/f)*(df/dxi)
Onko tässä mitään tolkkua?
Vastaukset 21
Vanhimmat
Merkitsen derivaattaa x:n suhteen merkinnällä D(f).
D(f) = 1 h1*D(x1) h2*D(x2) h3*D(x-x1-x2)
= 2 (h1-h3)D(x1) (h2-h3)D(x2)
Tämän tarkemmaksi tuota ei saakaan, ellet tiedä enempää muuttujista x1 ja x2.
Siis tuon vikan rivin olisi tietysti pitänyt olla:
1 h3 (h1-h3)D(x1) (h2-h3)D(x2)
derivoimiseen!
vaikka implisiittifunktiolause.
x=x1 x2 x3 => dx/dx1=dx/dx2=dx/dx3=1
df/dx = 1 dx1/dx*h1 dx2/dx*h2 dx3/dx*h3
= 1 h1/(dx/dx1) h2/(dx/dx2) h3/(dx/dx3)
= 1 h1 h2 h3
tuossa mitään implisiittifunktiota tarvittukaan.
Tuo side-ehto x=x1 x2 x3 tarkoittaa, että
f:R^4 -> R rajoittuu tuohon 4-pintaan {(x,y,z,x y z)}, joka siis on kuvauksen u(x,y,z)=x y z graafi.
f:n graafihan on tuo 5-pinta:
{(x1,x2,x3,x4,f(x1,x2,x3,x4)}
(a,b,c)->(a,b,c,u(a,b,c)) kuvausta merkitään U:llä,
niin meillä on kompositio:
FoU(a,b,c) U ja F ovat differentioituvia bijektioita, mutta u ja f eivät.
Sitten taas osittaiskuvaukset joissa kahta koordinaattia pidetään vakiona ubc(a)=u(a,b,c),uac(b),uab(c) ovat taas differentioituvia bijektioita.
että joissain tilanteissa nuo funktiot kääntyvät?
dx/da = 1/da/dx ????
dx/db = 1/db/dx ????
dx/dc = 1/dc/dx ????
Liittyykö tuo jotenkin käyräviivaisiin koordinaattisysteemeihin????
3-avaruuden pisteeseen (ao,bo,co) liitetään käyräviivaiset koordinaatit uboco, uaoco ja uaobo, niin tuossa koordinaatistossa tuo on ratkeava ja voidaan käyttää noita dx/duboco = 1/(duboco/dx) yhtälöitä????
Joo-o!
Nyt kyllä saat turbiin!
Tässä voisi asiaa selventää esimerkillä.
Asetetaan
x1=sin^2x
x2=cos^2x
x3=x-1
nyt x1 x2 x3=1 x-1=x
ja
f(x)=x sin^2x*h1 cos^2x*h2 x*h3-h3
ja sen derivaatta
1 h3 2sinxcosx*h1-2cosxsinx*h2=
1 h3 2sinxcosx(h1-h2)
Korpin kaavalla tulee:
1 h3 2sinxcosx*(h1-h3) (-2cosxsinx*(h2-h3))=
1 h3 2sinxcosx*(h1-h3-h2 h3)=1 h3 2sinxcosx*(h1-h2)
^Tossa laskussahan on kyse aivan eri asiasta. Kyllähän sitä derivoinnin ketjusäännöllä laskee, kun jokaisen xi:n riippuvuus x:stä tunnetaan. Tässä oli nyt pointtina se, että halutaan laskea funktion
f(x1,x2,x3)=sum_i x_i sum_i h_i x_i
derivaatta summan (x=sum_i x_i) suhteen.
Onko nyt siis niin, että tätä ei voi laskea vai voiko todella kirjoittaa dxi/dx=1/(dx/dxi).
Mielestäni tämä ei kyllä mene ihan oikein, sillä jos hi=1, i=1,2,3, niin f(x)=2x ja derivaatta on 2. Edellisellä kaavalla tulee derivaataksi 4.
Itse olen kallistumassa siihen suuntaan, että tätä ei todella voi laskea sen tarkemmin kuin ensimmäisessä saamassani vastauksessa oli.
Taidat nyt sotkea aika pahasti.
sum_i x_i -> sum_i h_i x_i
t=a b c -> h1a h2b h2c: otat mv. reaaliluvun dekomponoit sen summaksi a b c ja muodostat luvun
h1a h2b h2c. Ei kuulosta funktiolta sanan matemaattisessa merkityksessä alkiolla t on myriadi kuvaa!.
asiaa.
x1=sin^2x
x2=cos^2x
x3=x-1
x=x1 x2 x3 = 1 x-1 = x
Jossain pisteessä kaikki kääntyvät ja käänteisfunktion derivaatta pitää kutinsa.
dx1/dx= 2sinxcosx
dx2/dx= -2sinxcosx
dx3/dx= 1/1
df/dx = 1 dx1/dx*h1 dx2/dx*h2 dx3/dx*h3
df/dx = 1 sinxcosx*h1 -sinxcos*h2 h3 =1 h1 h2 h3 => h1=h2 (tai sinxcosx=0 ei käy, koska derivaatta ei käänny)
tähän, ettei tarvitse ottaa selvää
(df/dx)*(x/f) = x/f sum_i (x_i/f)*(df/dxi)
df/dx*x/f = x/f df/f *(x1/dx1 x2/dx2 x3/dx3)????
df/dx = 1 df/x * (x1/dx1 x2/dx2 x3/dx3)?????
Juu kyllä siellä on sählitty!
(df/dx)*(x/f) = x/f sum_i (x_i/f)*(df/dxi)
x/f*df/dx = x/f 1/f*grad f piste (x1,x2,x3)
Olkoon X=(x1,x2,x3) ja
kuvaus: F:(x1,x2,x3)= (x1,x2,x3,f(x1,x2,x3))
suunnattu derivaatta:
df/dX = grad f piste X
DF = ((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),grad f)
"differentiaali":
DF X = x1 x2 x3 grad f piste X
DF X /f = x/f 1/f grad f piste X
"
Yhdessä fysiikan artikkelissa on laskettu
(df/dx)*(x/f) = x/f sum_i (x_i/f)*(df/dxi)
Onko tässä mitään tolkkua?
"
Ei tuossa ole tolkkua, sen sijaan:
Jos X=(x1,x2,x3), x=x1 x2 x3
(df/dX x)*1/f = x/f /f =
x/f sum_i [(x_i/f)*(df/dxi)]
df/dX on suunnatun derivaatan merkintä.
aivosi ovat tosiaan umpisolmussa.
on Duf = grad f.u, missä |u|=1.
"
f(x1,x2,x3,x) = x x1*h1 x2*h2 x3*h3, missä
hi:t on vakioita.
(df/dx)*(x/f) = x/f sum_i (x_i/f)*(df/dxi)
"
Derivaattakuvaus määrittyy gradientin ja sisätulon avulla Df(p)(h) = grad f(p).h, kun Jacobin matriisi Df on määrätty pisteessä p.
Merkitään X=(x1,x2,x3), x=x1 x2 x3
Ylempi kaava:
Df = (h1 h2 h3 1) Jacobin matriisi.
grad f.x = (h1,h2,h3,1).(x1,x2,x3,x1 x2 x3) =
x1h1 x2h2 x3h3 x1 x2 x3 eli
(df/dx)::= grad f, f:n gradientti = f:n osittaisderivaatoista kyhätty vektori (4-avaruudessa), EI derivaatta summan suhteen.
Erittäin hämäävä merkintä samoinkuin kertomerkki.
Parempi olisi kuitenkin:
f(x1,x2,x3) = x x1*h1 x2*h2 x3*h3
Df = (1 h1 1 h2 1 h3)
Df X = x h1x1 h2x2 h3x3
Alempi kaava:
F(X)= x f(X)
Jacobin matriisi:
DF= ( 1 df/dx1 1 df/dx2 1 df/dx3 )
DF X = x1 x2 x3 x1 df/dx1 x2 df/dx2 x3 df/dx3
sovelletaan vielä DF:ää X/f:ään (f!=0)
DF X/f = x/f sum_i (x_i/f)*(df/dxi)
Oli sotkettu funktiot F ja f.
(dF/dx) vielä olisi kelvollinen ilmaisu, mutta että (df/dx). perhana.