Moiks, tätä tehtävää olen jo yrittänyt ratkaista useampaan otteeseen, siinä onnistumatta. Olisiko kellään neuvoja?
Tehtävä:
A sijoittaa joka vuoden alussa 6 % säästötilille 20 000 mk hankkiakseen asunnon, jonka hinta säästämisen alussa on 90 000 mk. Asunnon hinta nousee 12% vuodessa. Kuinka monen sijoituskerran jälkeen säästöt riittävät asunnon ostamiseen?
Tehtävä:
A sijoittaa joka vuoden alussa 6 % säästötilille 20 000 mk hankkiakseen asunnon, jonka hinta säästämisen alussa on 90 000 mk. Asunnon hinta nousee 12% vuodessa. Kuinka monen sijoituskerran jälkeen säästöt riittävät asunnon ostamiseen?
Vastaukset 10
Vanhimmat
Mitenkään perustelematta, tuo säästöjen geometrinen sarja on:
20000(1 ,..., 1,06^(n-2) 1,06^(n-1)).
Sen summa on 1*20000(1-1,06^n)/-0,06
Asunnon hinta vuonna n on 90000(1,12)^(n-1)
Säästö > As.hinta
Tuo epäyhtälö saadaan muotoon:
((1,06)^n)-1 > 0,27*(1,12)^(n-1)
En osaa ratkaista , mutta tuo epäyhtälö toteutuu yhdeksännen vuoden tammikuussa.
Eka vuosi : 20000
toka vuosi: 1,06*20000 20000
kolmas vuosi: 1,06(1,06*20000 20000) 20000=1,06^2*20000 1,06*20000 20000
neljäs vuosi: 1,06(1,06^2*20000 1,06*20000 20000) 20000=1,06^3*20000 1,06^2*20000 1,06*20000 20000
n -vuosi: 1,06^(n-1)*20000 1,06^(n-2)*20000 .....20000=
20000(1 ...1,06^(n-2) 1,06^(n-1))
Kiitos tosi paljon tuosta yhtälöstä! Koetin itsekin pyöritellä sitä, mutta sinne jää aina vaan tuo ykkönen ikävästi pyörimään... neuvoja?
... ikävästi pyörimään? Huomaa, että 1.06^0 = 1.
2000(1.06^0 1.06^1 ... 1.06^(n-1))
= 2000* (1.06^n - 1)/(1.06-1).
Tämä siksi, että voit tarkistaa:
(1.06 - 1) (1 1.06 ... 1.06^(n-1)) = 1.06^n -1
Useimmat termit katoavat tässä tulossa.
En nyt oikein ymmärtänyt mitä ajoit takaa, mutta siis ainakin mulla jää aina yksi jonnekin päin kummittelemaan, eikä pääse ottamaan logaritmia... Tehtävä alkaa käydä hermoille, kun tuon pitäisi olla lyhyen matematiikan yo:n 7. tehtävä ja vieläpä a-kohta, ja itse olen pitkän matematiikan lukija..
... auttaa, ellet pistä tarkemmin näkyville yritystäsi ja kommentteja ongelmasta.
Kokeissakin on tärkeää pystyä kirjoittamaan ratkaisu alas niin, että ongelmatilanteet näkyvät selvästi.
Ei tässä tehtävässä mitään epäyhtälöä ole tarkoitus ratkaistakaan, vaan selvittää minä vuonna tuon säästösarjan summa ylittää asunnon hinnan. Se onnistuu tietenkin kokeilemalla ja kun aloittaa n=10, niin oikea ratkaisu 9 löytyy saman tien.
(Tuollainen yhtälö ei ratkea kuin iteroimalla, ja iteroimalla siitä tulee n~8.125. Sekin olisi lisäksi väärä vastaus, koska kahdeksannen vuoden helmikuun puolivälissä säästöt eivät oikeasti ylitä asunnon hintaa.)
... olennaista ei ole se, mitä tehtävässä 'pitää tehdä', vaan olennaista on että tekijä pohtii mikä on mahdollista ja mikä ei -- ja miksi asiat ovat niin kuin ovat?
Jos tehtävä ei oikeasti ratkea kuin iteroimalla, on tärkeää, että tekijä itse perustelee tämän itselleen. Kokeessa kukaan ei ole kertomassa mitä on 'tarkoitus' tehdä.
No tämmöistä yritin:
1,06^n - 1 > 0,27 * 1,12^(n-1)
1,12*(1,06^n - 1) > 0,27 * 1,12^n
1,12*1,06^n - 1,12 > 0,27 * 1,12^n
1,12*1,06^n > 0,27*1,12^n 1,12
1 > (0,27*1,12^n 1,12) / (1,12*1,06^n)
1 > [(0,27*1,12)/(1,12*1,06)]^n [1,12/(1,12*1.06^n)]
1 > (27/106)^n (1/1.06)^n
Tähän kohtaan jäin. Miten pääsen tuosta kohtaa eteenpäin? Tuo yhtälö on ensimmäisen kirjoittajan.
... riviisi en ole oikein tyytyväinen, sillä potenssimerkintäsi kattaa myös kertoimen 0.27/1.12 , vaikka sen ei pitäisi.
Muutenkaan en oikein näe, mitä luulet saavuttavasi jatkamalla suin päin eteenpäin vaikkapa ensimmäisestä kohdasta
1,06^n > 0,27 * 1,12^(n-1) 1
Eikö tuo muoto ole yksinkertaisin kaikista? Oliko sinulla Oikeasti odotuksia siitä, että voisit manipuloida tuosta jotain kauniimpaa?
Tyypillisesti ottaisit nyt heti luonnollisen logaritmin molemmilta puolilta. Mutta ei ole olemassa mitään yleistä tapaa ottaa summan logaritmi.
Meillä on kuitenkin muutamia tapoja toimia:
1) Voimme yksinkertaisesti kokeilla eri n-arvoja vuorotellen. Huono puoli tässä on se, että emme tiedä kuinka suuri n-arvo on odotettavissa.
2) Parempi idea. Jos yllä oleva epäyhtälö on tosi, silloin on myös totta, että
1,06^n > 0,27 * 1,12^(n-1)
Eli jos otamme ykkösen pois, sekin epäyhtälö on täytyttävä. Joten jos ratkaiset tämän ottamalla logaritmit molemmilta puolilta, kokeiltavia n-arvoja jää selvästi vähemmän.
3) Voit ehkä käyttää luvun ln(1 x) sarjakehitelmän muutamaa ensimmäistä termiä hyväksesi, jos haluat välttää kokeilun lähes kokonaan.