Morjes, itsellä olis tässä pieni ongelma todennäköisyyksien kanssa. Asia koskee kombinaatioita, ja otan malliksi yhden tehtävän lukion pitkän matematiikan kirjasta (Wsoy todennäköisyydet ja tilastot, sarja B teht 2).
Tehtävä kuuluu: Kumpi on todennäköisempää: että kuutta noppaa heitettäessä tulee ainakin yksi kuutonen, vai että 12 noppaa heitettäessä tulee ainakin kaksi kuutosta.
Ensimmäisen todennäköisyys on helppo laskea:
P("kuusi heittoa, ainakin 1 kuutonen")
=1 - P("kuusi heittoa, ei yhtään kuutosta")
=1 - (5/6)^6
=0,67
Toisen kanssa on hieman ongelmia:
P("12 heittoa, ainakin 2 kuutosta")
=1 - [ P("12 heittoa, ei yhtään kuutosta") P("12 heittoa, 1 kuutonen") ]
=1 - [ (5/6)^12 ?????
Eli ongelmana on laskea todennäköisyys, että 12 heitolla tulee 1 kuutonen.
Ajattelin aluksi, että P("12 heittoa, 1 kuutonen") = 1/6 * (5/6)^11, mutta eipä se niin yksinkertainen ollutkaan.
Ratkaisussa P("12 heittoa, 1 kuutonen") = (12 1) * 1/6 * (5/6)^11
Huom, (12 1) on kombinaatio, ei jakolasku. Eli 12 yli 1.
-->jolloin
P("12 heittoa, ainakin 2 kuutosta")
=1 - [ (5/6)^12 (5 6) * 1/6 * (5/6)^11 ]
=0,62
(Vastaus: todennäköisempää heitttää kuutta noppaa ja saada 1 kuutonen)
Minkä takia tuo (12 1) tulee tuohon? Ihan perusjutut osaan kombinaatioista, mutta kun sellainen ilmestyy outoon kohtaan laskussa niin olen ihan pihalla. Apua kaivataan :)
Tehtävä kuuluu: Kumpi on todennäköisempää: että kuutta noppaa heitettäessä tulee ainakin yksi kuutonen, vai että 12 noppaa heitettäessä tulee ainakin kaksi kuutosta.
Ensimmäisen todennäköisyys on helppo laskea:
P("kuusi heittoa, ainakin 1 kuutonen")
=1 - P("kuusi heittoa, ei yhtään kuutosta")
=1 - (5/6)^6
=0,67
Toisen kanssa on hieman ongelmia:
P("12 heittoa, ainakin 2 kuutosta")
=1 - [ P("12 heittoa, ei yhtään kuutosta") P("12 heittoa, 1 kuutonen") ]
=1 - [ (5/6)^12 ?????
Eli ongelmana on laskea todennäköisyys, että 12 heitolla tulee 1 kuutonen.
Ajattelin aluksi, että P("12 heittoa, 1 kuutonen") = 1/6 * (5/6)^11, mutta eipä se niin yksinkertainen ollutkaan.
Ratkaisussa P("12 heittoa, 1 kuutonen") = (12 1) * 1/6 * (5/6)^11
Huom, (12 1) on kombinaatio, ei jakolasku. Eli 12 yli 1.
-->jolloin
P("12 heittoa, ainakin 2 kuutosta")
=1 - [ (5/6)^12 (5 6) * 1/6 * (5/6)^11 ]
=0,62
(Vastaus: todennäköisempää heitttää kuutta noppaa ja saada 1 kuutonen)
Minkä takia tuo (12 1) tulee tuohon? Ihan perusjutut osaan kombinaatioista, mutta kun sellainen ilmestyy outoon kohtaan laskussa niin olen ihan pihalla. Apua kaivataan :)
Vastaukset 9
Vanhimmat
Ongelmana on siis, miten lasketaan P("12 heittoa, 1 kuutonen"). Mieti näitä, niin asia selviää:
(a) Kun laskit erheellisesti 1/6 * (5/6)^11, laskit itse asiassa todennäköisyyden P("12 heittoa, joista ensimmäinen on kuutonen").
(b) Kuinka monessa eri paikassa 12 heiton sarjassa se yksi kuutonen voi tulla?
(c) Mitä binomikerroin (n, k) oikein tarkoittaa? Vihje: vastaus alkaa "kuinka monella tavalla voidaan ...".
Näillä pääset varmaankin eteenpäin. Kysy lisää, jos tarpeen.
Kiitos nopeasta vastauksesta!
B) Eli jos heittosarjoja on 12, kuutonen voi tulla kahdessatoista eri kohdassa.
A=kuutonen
B=jokin muu tulos
ABBBBBBBBBBB
BABBBBBBBBBB
BBABBBBBBBBB
BBBABBBBBBBB
BBBBABBBBBBB
BBBBBABBBBBB
BBBBBBABBBBB
BBBBBBBABBBB
BBBBBBBBABBB
BBBBBBBBBABB
BBBBBBBBBBAB
BBBBBBBBBBBA
C) Binomikerroin (n, k) tarkoittaa sitä, kuinka monella tapaa n suuruinen joukko voidaan järjestää k suuruiseksi joukoksi.
-->(12 1) = kuinka monella tapaa 12 alkiosta koostuvasta joukosta saadaan 1 alkion kokoinen joukko
-->Eli juuri kuinka monessa eri kohtaa kuutonen voi esiintyä. Kahdessatoista kohtaa.
Lasku on paljon helpompi tajua kun sen hahmottelee yhteenlaskusäännön avulla, joskin paljon työläämpi
--> P("12 heittoa, 1 kuutonen")
= 1/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6
5/6 * 1/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6
..
..
5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 * 1/6
= 1/6 * (5/6)^11 * 12
= 0,27
Mutta kombinaatioiden kanssa paljon yksinkertaisemman näköinen
P("12 heittoa, 1 kuutonen")
= (5/6)^11 * 1/6 * (12 1)
= 0,27
Nyt vain varmistukseksi, 1/6 kerrotaan (12 1) eli kahdellatoista, koska kuutonen voi ilmestyä niin monessa kohtaa?
Älysit oikein, hienoa!
"Nyt vain varmistukseksi, 1/6 kerrotaan (12 1) eli kahdellatoista, koska kuutonen voi ilmestyä niin monessa kohtaa?"
Kyllä vain. Joskin olisi varmaan loogisempi ajatella, että koko todennäköisyys 1/6 * (5/6)^11 kerrotaan kahdellatoista, ei ainoastaan tekijä 1/6.
... sanoisinko "Binomikerroin (n, k) tarkoittaa sitä, kuinka monella tapaa n suuruinen joukko voidaan järjestää k suuruiseksi joukoksi."
Nimittäin emme suinkaan järjestä mitään, emmekä varsinkaan n-suuruista joukkoa. Kyseessä on n-kokoisen joukon r-kokoisten osajoukkojen määrä.
Lisäksi minua hermostuttavat nämä listaukset tyyliin 1/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 . Mitä tälläinen hyödyttää?
Et ymmärtänyt vieläkään juuri mitään. Lue mieluummin mun viestistä selostus ja kysy siitä lisää.
... puhuu kombinaatioista 'järjestystapoina', ja sun mielestä hän älysi oikein? Vaude.
Hienoa! :D
... että lasku olisi 'paljon helpompi hahmottaa yhteenlaskuna', en voi olla samaa mieltä. Kun kirjoitat 5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6, lukijan pitää erikseen laskea eri tekijöiden määriä yms.
Jos on oikeasti sujut kertolaskujen ja potenssien kanssa, ei pitäisi tuottaa mitään ongelmia hahmottaa niitä intuitiivisesti, pienellä harjoittelulla.
"... puhuu kombinaatioista 'järjestystapoina', ja sun mielestä hän älysi oikein? Vaude. "
No, en nyt tällä kertaa nähnyt mielekkäänä mainita virheestä binomikertoimen luonnehdinnassa, kun kirjoittaja kuitenkin välittömästi seuraavassa virkkeessään osoittaa ymmärtäneensä luvun (12, 1) merkityksen oikein.
"Lisäksi minua hermostuttavat nämä listaukset tyyliin 1/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 . Mitä tälläinen hyödyttää?"
Jos yhteenlaskusääntö tuntuu tutummalta kuin binomitodennäköisyyden laskutapa, nämä "listaukset" auttanevat asioita opetellessa ymmärtämään, mistä oikea todennäköisyys tulee.
... sittenkään ymmärtää perusjuttuja kombinaatioista, sillä muutenhan tämä tehtävä olisi sulle paperia.
Nimittäin (12 1) merkitsee 'näin monella tavalla voimme valita yhden kahdestatoista'.
Huomaa, että olemme laskemassa todennäköisyyttä tapahtumalle 'Eka on kutonen TAI Toka on kutonen TAI Kolmas on kutonen TAI ... TAI 12. on kutonen'
Todennäköisyys on siis (12 1) = 12 kertaa niin iso kuin se olisi, jos valitsisimme sopivan heiton ajankohdan etukäteen.
Esimerkki: P(12 heitosta tasan 4 kutosta) = (12 4) (5/6)^6 * (1/6)^4 , sillä meidän on laskettava yhteen jokaisen mahdollisen nelikon todennäköisyydet.
Tämä ei ole 'outo kohta' käyttää binomikerrointa, sillä kyse on nimenomaan binomitodennäköisyydestä, jotka voidaan tietenkin yhdistää binomeihin:
Miten tulkitset laajennuksen yksittäiset termit, jos kirjoitan (5/6 1/6)^12 = 1 ?
Valitsemme jokaisesta 12 sulkeesta joko 1/6 tai 5/6. (Tämä on sama kuin valitsisimme 12 heitosta r kutosta.) Luku (12 r) kertoo kuinka monella tavalla voimme valita 1/6 tasan r:stä sulkeesta. Summa koostuu siis termeistä, jotka ovat muotoa (12 r)*(1/6)^r *(5/6)^(12-r). Kutsumme tätä tietoa binomilauseeksi.
Summa on siis muotoa P(1 kutonen 12 heitosta) P(2 kutosta 12 heitosta) ... P(12 kutosta 12 heitosta). Kokonaistodennäköisyys on luonnollisesti 1. Tästä tulee nimi 'binomitodennäköisyys', sillä todennäköisyydet ovat binomilaajennoksen termejä.
Kohdassa
"P(12 heitosta tasan 4 kutosta) = (12 4) (5/6)^6 * (1/6)^4 "
on virhe ja sen pitäisi tietenkin olla
"P(12 heitosta tasan 4 kutosta) = (12 4) (5/6)^8 * (1/6)^4 "