Tarkoituksena on saada selville seuraavan paraabelin huippupiste, kaksi muuta pistettä ja symmetria-akseli:
x^2 8x - y 12 = 0
Merkki '^' siis potenssiin korotuksen merkki.
Neliön täydentämisen jälkeen sain yhtälön tähän muotoon:
y = (x 4)^2 - 4
Käsitin, että tälläisestä paraabelista:
y = a(x - h)^2 k
saa huipun selville, koska se olisi pisteessä (h,k). Siten sain huippupisteeksi (4,-4).
Tuon tehtävän vastauksen mukaan tuo huippupiste on kuitenkin (-4,-4). Osaisiko joku sanoa, miten tämä on mahdollista, jos h:n arvo kerran on 4. Tosi hienoa saada jotain kommentteja :)
x^2 8x - y 12 = 0
Merkki '^' siis potenssiin korotuksen merkki.
Neliön täydentämisen jälkeen sain yhtälön tähän muotoon:
y = (x 4)^2 - 4
Käsitin, että tälläisestä paraabelista:
y = a(x - h)^2 k
saa huipun selville, koska se olisi pisteessä (h,k). Siten sain huippupisteeksi (4,-4).
Tuon tehtävän vastauksen mukaan tuo huippupiste on kuitenkin (-4,-4). Osaisiko joku sanoa, miten tämä on mahdollista, jos h:n arvo kerran on 4. Tosi hienoa saada jotain kommentteja :)
Vastaukset 9
Vanhimmat
jos se huippu olisi 4, niin eikö silloin se neliöksi täydennys olisi (x-4)^2 ?
Nythän se on (x 4)^2, joten huipun on oltava -4.
paraabelin huippu löytyy helpomminkin
Googleta vaikka.
Onkohan tuo nyt ihan oikein, kun näin hopusti laskemalla ja piirtämällä ei kyseisellä yhtälöllä ole max pistettä vaan minimi joka on
-4,-4
Jos -h on 4, niin h on -4! ;D
Kiitos sinulle ja muille kommentoineille. Olen pyrkinyt kehittämään matemaattisia taitojani, koska ne eivät ole vielä täydelliset ja olen siis tehnyt tuon tapaisia mokia.
Sinun neuvosi taisi olla valaisevin, vaikka nuo muutkin olivat ihan hyviä. En älynnyt, että se katsotaan tuollain, että -h on 4.
Löysin jälkeenpäin samasta kirjasta nääs vielä sellaisen maininnan, että tuon täydennetyn neliön suluissa olevan vakiomuodon ollessa positiivinen, paraabelin kuvaajaa siirretään vakion (tässä 4) verran vasemmalle. En älynnyt miksi, ennen kuin luin vastauksesi. :-)
Miten lasketaan helposti paraabelin huippu?
Ainakin laskemalla käyrän derivaatta ja merkitsemällä se nollaksi. Sitten ratkaistaan yhtälöstä x ja sijoittamalla se alkuperäiseen yhtälöön y.
Tämä perustuu siihen, että paraabelin huippu on joko käyrän minimi tai maksimi.
Huipun x-arvon saa helpoiten kaavalla x=-b/2a, jossa kirjaimet ovat kertoimia perusyhtälöstä (ax^2 bx c). Jos paraabeli on vaikka y=2x^2 4x 8, huippu on kohdassa x = -4/(2*2) = -1. Sijoitetaan tämä paraabelin yhtälöön ja saadaan y=6. Huippu on siis pisteessä (-1, 6).
Tai oikeastaan toi on sama kuin edellisellä kirjoittajalla, sillä se saadaan derivoimalla (tulee y'=2ax b) ja ratkaistaan nollakohta, mutta muistaakseni toi -b/2a on maolissa ja sitä saa käyttää suoraan. Ja analyyttisen geometrian kurssiin mennessähän ei derivointia vielä ole opetettu.
Nuo huipun koordinaatit on pähkäiltävissä vaikka seuraavasti ilman derivointia.
Paraabelin y=ax^2 bx c huippu sivuaa vaakasuuntaista suoraa y=d, joten noista saatavalla yhtälöparilla on oltava yksi ja vain yksi ratkaisu.
y=ax^2 bx c
y=d
ax^2 bx (c-d)=0. Tuolla toisen asteen yhtälöllä on vain yksi ratkaisu jos Diskriminantti on nolla, eli:
b^2-(4*a*(c-d))=0=>d=c-(b^2/(4a)), tämä on tietysti huipun y-koordinaatti.
Koska tuon toisen asteen yhtälön Diskriminantti on nolla, niin jäljelle jää:
x=-b/(2a), joka on huipun x-koordinaatti
Mull on koe huomeeeeen en taju vielä :-\