Jäi edellinen keskustelu vähän hampaankoloon. Tyrmättiin aika hyvin, mutta ei täysin. Haluan jäkättävänä akkana täydellisen tyrmäyksen, perustellen (!). Muotoillaan paremmin ydinkysymys:
* Lähenevätkö lukujonosta 1,2,..,39 satunnaisesti poimittujen seitsemän otosten kaikki mahdolliset summat normaalijakaumaa riippumattomien toistokokeiden lisääntyessä?
Siis satunnaismuuttuja on tässä peräkkäisten riippumattomien kokeiden (kuten lottoarvonta) tuottamien lukujen summa.
Jos ei, niin miten tämä sopusointuu keskeiseen raja-arvolauseeseen (central limit theorem)? [Sen mukaanhan riippumattomien satunnaismuuttujien summa lähenee normaalijakaumaa riippumatta edes muuttujien alkuperäisetä jakaumasta. Binomi- ja Poisson-jakuman osaltahan tuo oli jo alkeiskursseilla.]
* Lähenevätkö lukujonosta 1,2,..,39 satunnaisesti poimittujen seitsemän otosten kaikki mahdolliset summat normaalijakaumaa riippumattomien toistokokeiden lisääntyessä?
Siis satunnaismuuttuja on tässä peräkkäisten riippumattomien kokeiden (kuten lottoarvonta) tuottamien lukujen summa.
Jos ei, niin miten tämä sopusointuu keskeiseen raja-arvolauseeseen (central limit theorem)? [Sen mukaanhan riippumattomien satunnaismuuttujien summa lähenee normaalijakaumaa riippumatta edes muuttujien alkuperäisetä jakaumasta. Binomi- ja Poisson-jakuman osaltahan tuo oli jo alkeiskursseilla.]
Vastaukset 7
Vanhimmat
Etkö voisi jo vähitellen käsittää, etteivät summat ole riippumattomia satunnaismuuttujia? Olen tätä toitottanut sulle monen monta kertaa.
Yritä kirjoittaa alas ne satunnaismuuttujat, jotka olisivat tässä riippumattomia, niin törmäät varmasti ongelmiin.
Central limit theorem koskee IID, eli identtisiä, toisistaan riippumattomia ja äärellisellä varianssilla varustettuja satunnaismuuttujia.
Olkoon X_1, ... , X_7 satunnaisia lukuja väliltä 1,...,39. Tällöin X_1 ... X_7 on likimain normaalijakautunut, mutta se EI edusta 'otosta', sillä sama numero voi toistua.
Tarkoitan tietysti: 'Summien yhteenlaskettavat' eivät ole riippumattomia.
... siihen aiempaan ketjuusi palaten: Summan jakaumasta ei voi päätellä mitään uutta itse lottorivien 'jakaumasta'. Tämä harjoitustehtävä ei pätkääkään lisää mahdollisuuksiasi voittaa lotossa.
Jos valitset rivin joka toteuttaa 'suotuisan summan', se ei tule yhtään sen useammin kuin mikään muukaan rivi. Syy summan suotuisuuteen on pelkästään siinä, että useampi rivi toteuttaa sen summan. Joten ainoa fakta minkä voit päätellä on tämä: Useamman rivin veikkaaminen lisää voittomahdollisuuksiasi. Ei ole järin yllättävää? ;)
... jos luulit että peräkkäisten lottoarvontojen riippumattomuus riittää, olet käsittänyt Central Limit Teoreeman väärin.
Teoreema vaatii nimenomaan yhteenlaskettavien satunnaismuuttujien riippumattomuutta.
"Lähenevätkö lukujonosta 1,2,..,39 satunnaisesti poimittujen seitsemän otosten kaikki mahdolliset summat normaalijakaumaa riippumattomien toistokokeiden lisääntyessä?"
Eivät taatusti.
Summat on rajoitettu välille 1 2 3 4 5 6 7 = 28
ja 39 38 37 36 35 34 33 = 252. Lisäksi ne saavat vain kokonaislukuarvoja.
Normaalijakauma on jatkuva miinusäärettömästä plusäärettömään.
... varsinainen ongelma. Diskreettijakauma, kuten binomijakauma voi lähestyä jatkuvaa jakaumaa. Ks. animaatio:
http://www.math.lsu.edu/~madden/M1100/BinomialandNormal/
Varsinainen ongelma tässä on se, ettei yhteenlaskettavia lukuja ole valittu toisistaan riippumattomasti: Jos olet jo valinnut luvut 12,27 ja 34, et voi valita niitä enää uudestaan summaa kasvattaessasi.
Valitettavasti tuo on niin epäselvästi selostettu, että voisitko antaa esimerkin edes parista tällaisesta summasta ja kertoa mitä siinä on tehty? Voi olla helpompi vastata, kun tietää, mitä kysytään.