Tälläkin palstalla eräät kirjoittajat ovat selvästikin yrittäneet korostaa ns. algoritmien merkitystä matematiikassa. Haluaisin palauttaa mieliin, mitä matematiikka oikeasti on.
Jos halutaan määritellä, mitä matematiikalla tarkoitetaan, on varmaankin ensimmäiseksi kysyttävä, että mitä matematiikka tieteenalana tutkii. Oma vastaukseni on, että matematiikka tutkii ikuisia totuuksia. Nämä ikuiset totuudet ovat olemassa täysin ilman fyysisen maailman rajoituksia.
Algoritmit ja konstruktiiviset menetelmät ovat vain eräs käytännöllinen tapa hallita ja hyödyntää näitä matematiikan ja oikeiden matemaatikoiden löytämiä totuuksia. Mutta matemaattiset totuudet ovat olemassa täysin riippumatta siitä, onko niiden käsittelyyn olemassa minkäänlaisia käytännöllisiä menetelmiä. Esimerkkejä tällaisista totuuksista ovat lukuisat ei-konstruktiivisiin menetelmiin perustuvat puhtaasti matemaattiset todistukset.
Rajoittuminen algoritmisesti hallittavaan (konstruktiiviseen) matematiikkaan merkitsisi huomattavaa rajoitusta matematiikan tutkimusmenetelmiin. Samalla jouduttaisiin heittämään pois merkittävä osa matematiikan uusista tutkimustuloksista. Onhan käynyt selväksi, että matemaatikot, jotka ovat olleet vapaita tällaisen konstruktivistisen ajattelun rajoituksista, ovat jatkuvasti olleet matemaattisen tutkimuksen eturintamassa. Ja näin on tänäkin päivänä.
Ehkä olisi parempi, että kaikki algoritmeihin liittyvä (myös matematiikkaa tavalla tai toisella sivuava) keskustelu siirrettäisiin ohjelmistopuolen keskustelupalstoille.
Ainoa tie totuuteen on filosofinen pohdiskelu.
Jos halutaan määritellä, mitä matematiikalla tarkoitetaan, on varmaankin ensimmäiseksi kysyttävä, että mitä matematiikka tieteenalana tutkii. Oma vastaukseni on, että matematiikka tutkii ikuisia totuuksia. Nämä ikuiset totuudet ovat olemassa täysin ilman fyysisen maailman rajoituksia.
Algoritmit ja konstruktiiviset menetelmät ovat vain eräs käytännöllinen tapa hallita ja hyödyntää näitä matematiikan ja oikeiden matemaatikoiden löytämiä totuuksia. Mutta matemaattiset totuudet ovat olemassa täysin riippumatta siitä, onko niiden käsittelyyn olemassa minkäänlaisia käytännöllisiä menetelmiä. Esimerkkejä tällaisista totuuksista ovat lukuisat ei-konstruktiivisiin menetelmiin perustuvat puhtaasti matemaattiset todistukset.
Rajoittuminen algoritmisesti hallittavaan (konstruktiiviseen) matematiikkaan merkitsisi huomattavaa rajoitusta matematiikan tutkimusmenetelmiin. Samalla jouduttaisiin heittämään pois merkittävä osa matematiikan uusista tutkimustuloksista. Onhan käynyt selväksi, että matemaatikot, jotka ovat olleet vapaita tällaisen konstruktivistisen ajattelun rajoituksista, ovat jatkuvasti olleet matemaattisen tutkimuksen eturintamassa. Ja näin on tänäkin päivänä.
Ehkä olisi parempi, että kaikki algoritmeihin liittyvä (myös matematiikkaa tavalla tai toisella sivuava) keskustelu siirrettäisiin ohjelmistopuolen keskustelupalstoille.
Ainoa tie totuuteen on filosofinen pohdiskelu.
Vastaukset 16
Vanhimmat
teen täten tiettäväksi, mistä matematiikkapalstalla, johon minulla ei itseasiassa ole minkäänlaista sananvaltaa, saa keskustella.
Huono trolli.
"Oma vastaukseni on, että matematiikka tutkii ikuisia totuuksia. Nämä ikuiset totuudet ovat olemassa täysin ilman fyysisen maailman rajoituksia. "
Jos osaisit matematiikkaa, niin et kirjoittaisi tuollaista sontaa. Matematiikka *ei* tutki ikuisia totuuksia.
Olepas kiltti, ja valaise vähän.
Epätietoinen
Syitä ja seurauksia. Matematiikassa päättely lähtee aina sovituista faktoista, ei mistään "absoluuttisista totuuksista". Saman syyn takia ei voida saavuttaa mitään absoluuttisia totuuksia.
koko ylinumeroituvien äärettömyyksien (alef-0, alef-1,alef-2 ja kaikki välissä oleva) teorian heittämistä romukoppaan.
Ja samalla menisi merkittävä osa analyysiä ja kompleksianalyysiä.
Olemmekokan me todella siihen valmiita?
algoritmisesti ja konstruktivistisesti ajattelevien jatkaa huseeraamistaan tällä palstalla!
On tylsää täysin mielenkiinnotonta. Kuuluu ehdottomasti ristisanatehtäväosastoon.
Konstruktivistinen todistus on aina parempi kuin olemassaolotodistus (ei ehkä yhtä elegantti, mutta kauneus on katsojan silmässä), sillä se antaa menetelmän kuinka asia tavoitetaan.
Esimerkki. Olkoon syt(a,b)=1 (a>b>0), silloin on olemassa sellaiset x ja y, että ax by=1.
Olemassaolo todistus:
Olkoon S={ax by:ax by>0 x,y kokonaislukuja}
S on luonnollisten lukujen epätyhjä osajoukko. Koska luonnollisten lukujen joukko on hyvinjärjestetty, on joukolla pienin alkio s=min S>0. Joillakin x ja y siis ax by=s. Riittää näyttää, että S={sk:k kokonaisluku >0}, oletetaan, että S:n alkio d ei ole s:n monikerta, tällöin d=ks r, missä 0
Konstruktiivinen todistus ei ole aina niin ylivertainen, että kannattaisi hylätä olemassaolotodistus -- varsinkin jos ne ovat erilaisia. Jos mahdollista, kannattaa tuntea molemmat.
Konstruktiosta voi olla vaikeampi tehdä muodollista ja yleistä ilman notaatio-helvettiä tai muodollista algoritmien teoriaa. Estetiikalla on pintaa syvempiä hyötyjä. 'Käytä algoritmia MOT' ei ole mikään todistus, ellet muodollisesti osoita että algoritmi päättyy. Tässä tapauksessa on hyödyllisempää todistaa väite toisin, ja jättää algoritmi harjoitustehtäviin.
Usein konstruktiota ei voi laajentaa tai soveltaa muihin ongelmiin, kun taas olemassaolotodistuksen niksi saattaa olla arvokkaampi kuin itse tulos. Tässä tuo havainnollistava niksi on 'minimialkion valinta', eli valinta-aksiooman käyttö. On hyvä, että se niksi tulee vastaan jo yliopiston ekassa kurssissa.
Pääsyy miksi konstruktioita on suhteessa vähemmän ei tietenkään ole siinä, etteikö niistä pidettäisi, vaan siinä, että niitä on yleensä vaikeampi löytää.
... että antamasi todistus ON konstruktiivinen.
Nimittäin, siinä mainitaan kohta 'd=ks r, missä 0
Jakoyhtälö luvuille a>=b>0
a=qb r, missä 0=
... on ihan terminologiasta. Usein 'jakoyhtälöä' kutsutaan 'Eukleideen algoritmiksi', vaikka se ei olisikaan algoritmi.
Nimi viittaa käytännössä siihen, että algoritmi voidaan määritellä oikein vain tämän todistuksen avulla. Yhteys algoritmiin on luonnollinen ja erottamaton. Hullumpiakin nimityksiä löytyy.
Alkuperäinen viesti oli algoritminen todistus vs. olemassolotodistus
Esim. Jos joku tekee olemassaolotodistuksen Goldbachin konjektuurille: Jokainen parillinen kokonaisluku voidaan esittää 2 alkuluvun summana.
Ja toinen algoritmisen todistuksen eli antaa myös mentelmän jolla nämä luvut löydetään (ehkäpä kaikki), niin minun arvostukseni on jälkimmäisellä vaikka olemassaolotodistus olisikin lyhyt ja "elegantti".
Arvokkaita molemmat, mutta käytännön matematiikassa ja sovelluksissa olemassaolotodistuksilla ei tee juuri mitään (ehkäpä tutkitaan kriteereitä, onko ratkaisua ollenkaan), siksi arvostan konstruktiivista todistusta enemmän vaikka itse puhtaaseen matematiikaan peilaten ne ovat samanarvoisia.
... alkuperäistä vertausta lainkaan, tai miksi siihen pitäisi vastata. Tämä on kuin vertaisi kissaa ja koiraa. Kaikki matemaatikot pyrkivät löytämään konstruktion jos mahdollista -- onneksemme saamme paljon tietoa niissäkin tapauksissa kun konstruktiot ovat mahdottomia tai vaikeasti saatavilla.
Toisin kuin ehkä luulet, todistuksen tarkoitus ei yleensä ole pelkästään 'väitteen todistaminen'. Todistuksen tarkoitus voi olla myös havainnollistaa tiettyä yleistä niksiä/tekniikkaa tai laittaa jokin teoreema tiettyyn kontekstiin. Tämä mahdollistaa uuden teorian luomisen vanhan päälle. Pelkkä konstruktio ei yleensä saavuta tätä, joten se ei ole mitenkään yksiselitteinen parannus olemassaolo-todistukseen.
Arvostat siis ensisijaisesti sitä, että annetaan ekplisiittinen ratkaisuesimerkki -- tällöin arvaamallakin saatu esimerkki riittää mielestäsi kertomaan kaiken olennaisen teoreemasta? Mun mielestä todistukset ja niiden kauneus ovat tärkeämpiä kuin se, ovatko teoreemat tosia vai eivät.
... on tärkeää että on uutta sovellettavaa. Soveltavalle matematiikalle on tärkeää, että tulee uutta puhdasta teoriaa sovellettavaksi.
Siispä olemassaolotodistuksilla on suuri epäsuora arvo soveltavalle matematiikalle. Muutenkin on mukavampi yrittää löytää algoritmia jollekin jonka tietää valmiiksi olevan olemassa!
Matematiikkahan on sinänsä ikuinen henkinen umpisolmu