Olisikohan täällä jollain asiantuntemusta sanomaan mielipiteensä seuraavan linkin takana olevan Lemman 1.3.7 merkintätapaan:
http://img390.imageshack.us/my.php?image=tehtavaapi3.jpg
Eli siis.. Siinä muodostetaan joukot E_{\alpha} tuon supremum ehdon mukaan. Tätä sup_{r > 0} kohtaa kysymykseni itseasiassa koskeekin, sillä pitäisikö sen tilalla olla itseasiassa lim sup_{r -> 0} (http://en.wikipedia.org/wiki/Limit_superior)?? Ja että tämän lim sup -ehdon täyttävät x:t kuuluvat E_{\alpha}:aan.
Alempana nimittäin muodostetaan jono suljetuista palloista s.e. niiden säde menee nollaan. Mielestäni ne eivät välttämättä täytä alimpana olevaa ehtoa, jos E:n määrittelyehdossa on se pelkkä sup?
Vai pystytäänkö jono tosiaan muodostamaan pienemmällä ehdollakin? Sanokaas mielipiteenne.
Kiitokset avusta jo etukäteen!
http://img390.imageshack.us/my.php?image=tehtavaapi3.jpg
Eli siis.. Siinä muodostetaan joukot E_{\alpha} tuon supremum ehdon mukaan. Tätä sup_{r > 0} kohtaa kysymykseni itseasiassa koskeekin, sillä pitäisikö sen tilalla olla itseasiassa lim sup_{r -> 0} (http://en.wikipedia.org/wiki/Limit_superior)?? Ja että tämän lim sup -ehdon täyttävät x:t kuuluvat E_{\alpha}:aan.
Alempana nimittäin muodostetaan jono suljetuista palloista s.e. niiden säde menee nollaan. Mielestäni ne eivät välttämättä täytä alimpana olevaa ehtoa, jos E:n määrittelyehdossa on se pelkkä sup?
Vai pystytäänkö jono tosiaan muodostamaan pienemmällä ehdollakin? Sanokaas mielipiteenne.
Kiitokset avusta jo etukäteen!
Vastaukset 10
Vanhimmat
... ajateltuna tuskinpa tuossa on mitään virhettä:
Ehdon perusteella sinulla on joku ehdon täyttävä suljettu pallo B(x,r).
Olkoon 0 < r' < r. Selvästikin B(x,r) sisältää jonkun ehdon täyttävän suljetun pallon B(x,r'), sillä väitämme että muuten B(x,r) ei täyttäisi ehtoa.
Selvästikin jonkun pienemmän pallon 'suhdeluvun' on oltava vähintään isomman pallon suhdeluvun verran, sillä muuten seuraava huomio antaa kontradiktion: Jos b/c < a ja d/e < a, silloin (b d)/(c e) < a.
... ehdon täyttävää r' - kokoista palloa, se sisältää silloin varmasti jonkun ehdon täyttävän pallon, jonka koko on korkeintaan r-r' , joten löydämme aina pienemmän säteen jonoomme.
"Olkoon 0 < r' < r. Selvästikin B(x,r) sisältää jonkun ehdon täyttävän suljetun pallon B(x,r'), sillä väitämme että muuten B(x,r) ei täyttäisi ehtoa."
En oikein ymmärrä, mitä yrität tässä sanoa.
Siis jos se alkuperäinen sup tulkittaisiin kuten on kirjoitettu, niin ongelmaksi mielestäni tulee se, että mistä tiedetään, että ehdon täyttäviä palloja on pienillä r ? Ainoastaan tiedetään, että pallojen mittojen suhteen supremum on alfaa suurempi, mutta tämähän voi tapahtua vasta suuremmilla r...
... ideani oikein, mutta ajattelin, että Radon-mittojen ominaisuuksista luultavasti seuraa, että jos se tapahtuu suurilla r, näiden pallojen sisällä on oltava pienempi pallo, jolle se edelleen tapahtuu. Ja sen sisällä jälleen pienempi jne.
Vähän niin kuin: Jos meren maksimisyvyys on a, jonkun sen sisältämän pienemmän merialueen maksimisyvyys on sekin oltava a. :)
Mitathan ovat additiivisia ja niin pois päin. Sitten Radon-mitoilla on vielä avuliaita lisäominaisuuksia.
... tiheys on parempi sana kuvaamaan asiaa kuin 'syvyys'.
"Jos tietyn esineen tiheys on a, myös jonkun pienemmän osaesineen tiheys on vähintään a."
Samaa ajatusta luulisi voivan käyttää. Elikä r_1, r_2, r_3,... ovat pienenevä jono, mitkä määritellään sisäkkäisten pallojen avulla.
"Jos tietyn esineen tiheys on a, myös jonkun pienemmän osaesineen tiheys on vähintään a."
"Tiheys" sanan normaalilla tulkinnalla tämä ei tietenkään pidä paikkaansa.
...hienoja ajatuksia, mutta ei oikein vakuuta. Intuitio monesti pelaa näissä, mutta melkein yhtä monesti myös pettää.
Edelleen olen sen lim supin kannalla...
... virhe, ehkä sen pitäisi olla jopa inf?
Löysin samantapaisen tilanteen, jossa on käytetty lim suppia. Kyseinen teos on
Measure Theory and Fine Properties of Functions
ja kun tuon hakusanan laittaa Googleen, pääsee kirjaa (rajoitetusti) selailemaan. Minulla tuli ainakin heti ensimmäiseksi linkiksi.
Samantapainen kohta löytyy sivulta 37 luvusta 1.6 'Differentation of Radon measures' ja sitä seuraa LEMMA 1, jossa kohta (ii) on kyllä hyvin paljon samannäköinen, kuin tuo hakemani.
Löytyy tuo 1.3.7. Lemmakin googlella. Hakusana 'Weakly differentiable functions' antaa ensimmäiseksi linkiksi kyseisen kirjan, jota voi taas rajoitetusti selata. Itse lemma löytyy sivulta 13 ja jatkuu sivulle 14.
Löytyipä vielä pruju, jossa käsitellään asiaa jälleen kerran lim supin kanssa:
http://www.helsinki.fi/~iholopai/MoRA.pdf
s.81, Määritelmä 5.18
s.82, Lemma 5.23 (vastaava lemma)
Aika vahvasti olen limsupin kannalla. Selailinpa alkuperäistä teosta eteenpäin ja taidetaan sielläkin käyttää tulosta niin kuin siinä olisi se limsuppi.