Mitäs vinkkejä tällaiseen tehtävään:
f:]0, pii/2[ -> R, f(x)=(1 sin(x))/(1-cos(x)) kaikilla määrittelyjoukon x:illä.
Nyt f:lle pitäisi osoittaa aito vähenevyys.
f:]0, pii/2[ -> R, f(x)=(1 sin(x))/(1-cos(x)) kaikilla määrittelyjoukon x:illä.
Nyt f:lle pitäisi osoittaa aito vähenevyys.
Vastaukset 4
Vanhimmat
kaavaa sin^2(x) cos^2(x)=1 saat
f'(x)=((cos(x)-1)-sin(x))/(1-cos(x))^2
Tämä on negatiivinen kaikilla tuon avoimen välin ]0, pii/2[ arvoilla
Tunnetusti annetulla välillä sin x ja tan x ovat aidosti kasvavia, joten niiden käänteisluvut 1/sinx ja 1/tanx ovat aidosti väheneviä. Mikäli funktiot f(x) ja g(x) ovat aidosti väheneviä (positiivisia) on myös f(x)g(x) aidosti vähenevä ja samoin f(x) g(x). Näihin nojaten lavenna lausekella 1 cos x.
Saat (1 sinx cosx sinxcosx)/(1-cos^2 x)=
(1 sinx cosx sinxcosx)/(sin^2 x)=1/sin^2 x 1/sinx cosx/sinx*1/sinx cosx/sinx=
1/sinx*1/sinx 1/sinx 1/tanx*1/sinx 1/tanx
Joka on siis aidosti vähenevä, koska tuloissa ja summissa esiintyvät termit ovat positiivisia ja kaikki aidosti väheneviä.
Kiitos, tämä olikin aika näppärä tapa ratkaista tämä tehtävä. Saanko vielä kysyä että miten päädyit laventamaan 1 cos x:llä?
Ajattelin pythagoraan lausetta sin^2 x cos^2 x=1.
Kun nimittäjä on muotoa a-b niin laventamalla a b:llä sen saa muotoon a^2-b^2 tai päinvastoin.
Koska a=1 ja b=cosx, tuntui se luonnolliselta kokeilulta.
Vertaa esim.
1/(2 3i) lavennetaan liittoluvulla 2-3i
esim.
1/(2 sqrt(5)) lavennetaan 2-sqrt(5)
Perusvehkeilyä!