x^(2/3)= 4
Miksi se vastaus ei ole ±8, vaan pelkkä 8 ??
Sääntöhän on:
√4 on 2
mutta
√4=x on x=±2.
Miksi:
5th root of (-243)^2 on 9
mutta
(-243)^(2/5) on epämäärätty?? Nehän ovat sama asia ilmaistu kahdella eri tavalla. Ugh, kun en tajua...!!
Tarkoittaako asia, etten mä saa muuttaa niitä tapoja keskellä laskemista? Mut miten mä sitten lasken ne, kun muuttaminen joissain paikoissa ratkaisee koko homman!!??
Miksi se vastaus ei ole ±8, vaan pelkkä 8 ??
Sääntöhän on:
√4 on 2
mutta
√4=x on x=±2.
Miksi:
5th root of (-243)^2 on 9
mutta
(-243)^(2/5) on epämäärätty?? Nehän ovat sama asia ilmaistu kahdella eri tavalla. Ugh, kun en tajua...!!
Tarkoittaako asia, etten mä saa muuttaa niitä tapoja keskellä laskemista? Mut miten mä sitten lasken ne, kun muuttaminen joissain paikoissa ratkaisee koko homman!!??
Vastaukset 11
Vanhimmat
Muistaakseni lukion kurssissa murtopotenssia ei ole määritelty negatiivisilla luvuilla.
Se on syy, vaikka oikeassa oletkin.
Murtopotenssia ei lukion kurssissa ole määritetty negatiivisilla luvuilla ja perustellaan seuraavasti.
(-1)^(1/3)=third root(-1)=-1, mutta
(-1)^(2/6)=sixth root((-1)^2)=1
tässä on ristiriita...
x^(2/3) = 4 3root (x^2) = 4 ---> x^2 = 64 --->
x = /-8.
Toiseen asiaan: pysy tehtävässä, sitä ei saa muuttaa.
Kiitos kaikille, että jaksoitte selittää. Ja tähän viestiin vielä se, että vastaus on siis /-8 !!! Siinä kirjassa on taas virhe!!! Harmi se, sillä luulee, että itse on asian ymmärtämistä vailla!
Mahtavaa päivänjatkoa kaikille!
Siis todellakin yhtälön x^(2/3)= 4 ainoa juuri on 8. Toista juurta ei ole.
!!! NIIN TODELLAKIN !!!! Tajusin yhden jutskelin, jonka olin aina tehnyt väärin!!! Kiitos kun korjasiT!
Mulla on sitten jotain pielessä. Eikö SQRT(64) = plus/miinus 8?
Kertaan vielä tuo (virheellisen?) päättelyni:
x^(2/3) = 3root(x^2) = 4.
Korotetaan molemmat puolet kolmanteen potenssiin:
x^2 = 64 ---> x = /- 8.
Mikä tuossa sitten mättää? Jos edellinenkin kommentoija valaisisi, niin nöyrä kiitos! Apuva, nkorppi!
Ei tuossa päättelyssä vikaa ole, mutta tällaiset tehtävät pitää aina tarkistaa sijoittamalla nuo saadut x:n arvot alkuperäiseen yhtälöön.
8 toteuttaa yhtälön, mutta -8:n kohdalla päädytään seuraavaan yhtälöön:
(-8)^(2/3)=4
Tällä kohtaa pitäisi muistaa , että murtopotenssia ei ole määritelty negatiivisilla luvuilla, ja todeta, että tuo yhtälö ei ole voimassa.
-8 ei siis käy, koska se on negatiivinen ja murtopotenssin kantaluku ei saa olla negatiivinen.
Nimimerkki /- kysyi, mikä yhtälönratkaisussaan oli vialla. Täällä on vastattu, ettei siinä mikään ole pielessä ja sijoittamalla ratkaisuehdotukset yhtälöön saa varmuuden siitä, mitkä ovat oikeita ratkaisuja. Tarkistuskeino on kyllä vedenpitävä, mutta kannattaa se ratkaisun todellinen virhekin varmaankin mainita, ettei asia jää häiritsemään --- tietenkin ratkaisussa on oltava jokin puute tai virhe, jos se kerran tuottaa ylimääräisiä juuria!
Ratkaisun ainoa puute on tämä: Kun kirjoitat
"x^(2/3) = 3root(x^2)",
sinun pitäisikin kirjoittaa
"x^(2/3) = 3root(x^2) sillä edellytyksellä, että x > 0".
Siis, kuten täällä on jo kerrottukin, murtopotenssin kantaluvun on oltava positiivinen. Kun lopussa vertaa ehtoa x > 0 saamiinsa ratkaisuehdotuksiin /- 8, huomaa vain 8:n täyttävän ehdon.
Sellainen yksinkertainen perusasia minulta uupui, ettei murtopotenssin kantaluku saa olla negatiivinen. Minusta se on kyllä määrittelyasia, ei virhe johtamislogiikassa, mutta antaa olla ... Tarkistus kannattaa!
Muut ovat tähän jo vastanneetkin, mutta arvelin vielä työntää omankin lusikkani soppaan.
Murtopotenssi on todella määritelty ainoastaan positiivisilla kantaluvun arvoilla. Siis esimerkiksi 1^(1/3) = 1 mutta potenssia (-1)^(1/3) ei ole olemassakaan.
Parittomat juuret sen sijaan ovat kaikilla reaaliarvoilla määriteltyjä. Esimerkiksi "kolmas juuri luvusta -1" on yhtä kuin -1. Juuri ja vastaava murtopotenssi eivät siis ole aivan sama asia: x^(1/n) on yhtä kuin "n:s juuri luvusta x" vain siinä tapauksessa, että x > 0.
Alkuperäinen kysyjä oli huolissaan (ehkä) murtopotenssiyhtälöiden ratkaisemisesta. Ongelmia ei tule, jos lopuksi aina tarkistat saamasi ratkaisut muistaen, että murtopotenssin kantaluvuksi ei epäpositiivista lukua hyväksytä.
(Pieni huomautus vielä alkuviestiin: Kirjoitat "√4=x on x=±2". Tarkoitat varmaankin, että yhtälön x^2 = 4 ratkaisu on x = ±2.)