Tuollasta rupesin pohtimaan, kun vaikuttaa tosi yksinkertaiselta, mutta ei oo ikinä tullu vastaan. Enkä sitä sitten pitemmänkään pähkäilyn jälkeen keksinyt. Enkä netistäkään nyt tähän hätään löydy. (millä hakusanoilla oikein hakis... ;))
Siis
S_1=1^2=1
ja
S_n=S_(n-1) n^2
Siis
S_1=1^2=1
ja
S_n=S_(n-1) n^2
Vastaukset 2
Vanhimmat
... varma, että on oltava olemassa 'yksinkertaisempi' kaava kuin
1^2 2^2 ... n^2
itsessään?
Itse asiassa yksinkertainen kaava on olemassa, mutta se ei ole ihan helposti arvattavissa.
Nimittäin n(n 1)(2n 1)/6 . Sen voi todistaa tosi helposti induktiolla (oleta että se on totta tietyllä n, ja osoita tästä että se on totta myös luvulle n 1).
Induktio on kuitenkin 'narraamista' siinä mielessä, sillä induktio perustuu siihen, että olet arvannut jo valmiiksi mikä kaava voisi olla. Tämä on tyypillistä induktiolle. On varmaankin monta avointa ongelmaa matikassa, joihin löytyisi helppo induktiotodistus, kunhan joku arvaisi ratkaisun ensin!
Tässä selitetään, miten kaava alkujaan löydettiin:
http://www.macalester.edu/~bressoud/pub/CBN2.pdf
... on Summa (i=1,...,n) i^k
Missä k on suurempi kokonaisluku kuin 2, on myös mahdollista löytää kaava: Joko ilmaisemalla summa binomikertoimien suhteen (ja käyttämällä niiden ominaisuuksia).
Vielä kattavampi ja nopeampi tapa on laskea summan integraali:
http://www.mathpages.com/home/kmath279/kmath279.htm