Opintomonisteessamme on esimerkkifunktio
f(x,y)=x*y / (x^2 y^2), kun (x,y) != (0,0) ja f(0,0) = (0,0)
Tämän jälkeen todetaan, että funktio ei ole jatkuva origossa, joka pitäisi nähdä sijoituksella x=r*cos(phi), y=r*sin(phi).
Sijoittamalla saadaan
r^2*sin(phi)*cos(phi) / (r^2*( sin^2(phi) cos^2(phi) )) = sin(phi)*cos(phi)
Miten tästä muodosta näkee, ettei funktio ole jatkuva? Mielestäni funktio saa arvon 0 origossa (phi=0). Toki sijoittelemalla arvoja alkuperäiseen funktioon lähellä nollaa, saadaan tulokseksi 0.5, mikä ei ole luonnollisesti sama kuin 0, eli tästä huomataan helposti se, ettei funktio ole jatkuva.
Nimim. puusilmällä paha katsoa :)
f(x,y)=x*y / (x^2 y^2), kun (x,y) != (0,0) ja f(0,0) = (0,0)
Tämän jälkeen todetaan, että funktio ei ole jatkuva origossa, joka pitäisi nähdä sijoituksella x=r*cos(phi), y=r*sin(phi).
Sijoittamalla saadaan
r^2*sin(phi)*cos(phi) / (r^2*( sin^2(phi) cos^2(phi) )) = sin(phi)*cos(phi)
Miten tästä muodosta näkee, ettei funktio ole jatkuva? Mielestäni funktio saa arvon 0 origossa (phi=0). Toki sijoittelemalla arvoja alkuperäiseen funktioon lähellä nollaa, saadaan tulokseksi 0.5, mikä ei ole luonnollisesti sama kuin 0, eli tästä huomataan helposti se, ettei funktio ole jatkuva.
Nimim. puusilmällä paha katsoa :)
Vastaukset 8
Vanhimmat
Mutta eikös origo saada (r,phi), koordinaateilla millä tahansa phi kunhan r=0. sin(phi)*cos(phi) saa origossa, eli kun r=0, mitä tahansa arvoja väliltä [-1,1].
Jos funktio olisi jatkuva, se palauttaisi myös phi:n arvoille pelkkää nollaa origossa? (polaaritasolla)
Ajatellaan (x,y)-tason pistettä (0,0), niin sitä vastaa toki mikä tahansa polaarikoordinaatiston (0,phi)-piste. Jotta voitaisiin sanoa tuon olevan jatkuva origossa, tulisi tuon myös polaaritasolla olla yksikäsitteinen, ts. (0,phi) = (0,0) kaikilla phi=0...2*pi? Eli jos funktio ei ole riippuvainen r:stä polaaritasossa, se ei myöskään ole jatkuva (x,y)-tasolla?
Menikö tämä päättely oikein? Korjaa, mikäli nyt käsitin väärin.
Kiitos paljon!
Jos määrittelisinkin funktion:
g(x,y) = abs(x*y)^alpha / (x^2 y^2), (x,y) != 0, g(0,0) = (0,0)
Tällöinhän samalla sijoituksella saataisiin
g(r*cos(phi), r*sin(phi)) = abs(r^2*cos(phi)*sin(phi))^alpha / r^2
Sittenhän jatkuvuus on voimassa silloin ja vain silloin, kun abs(r^2)^alpha != r^2 => alpha != 1 (estetään r:n supistuminen)
Eikö näin? Eli tämän funktion tapauksessa kaikki alphat > 1 käyvät, että funktiosta tulisi jatkuva? Pitäisiköhän tätä tarkastella vielä jotenkin tarkemmin?
Voit esittää nuo,
kaikki x:n ja y:n arvot tuolla tavoin, mutta
kun lähestyt origoa, niin minkä pitää lähestyä nollaa, ja mikä voi lähestyä vaikkapa pii/4:sta?!?
Varmaan saat tuosta vastauksesi!
Laita viestiä jos ei vieläkään aukene!!
on väärä. (x,y)->0 tarkoittaa r->0. Sijoitusten jälkeen nähdään, että r on supistunut pois, jolloin raja-arvo origossa määräytyy lähestymissuunnasta.
Mielestäni ajattelin asian juuri noin? Eli koska tuo funktio ei ole riippuvainen r:stä, se ei ole yksikäsitteinen origon ympäristössä. Toisin sanoen arvo riippuu siitä mistä päin sitä lähestytään? Mitä olen nyt ymmärtänyt väärin?
origosta piirretyn mielivaltaisen säteen eri pisteissä funktion arvo on vakio sin(phi)cos(phi). Tästä johtuen raja-arvo origossa ei ole yksikäsitteinen(sinne päästään kaikkia säteitä pitkin)
Tehty muuttujanvaihdos on tietysti singulaarinen origossa (koordinaatti phi on huonosti määritelty). Funktion epäjatkuvuuden näkee helposti tarkastelemalla erikoistapausta:
f(r>0, phi=pi/4) = 1/2
f(r>0, phi=-pi/4) = -1/2
mutta itse origoon et saa mennä, vaan joudut tekemään rajankäynnin jossain origon ympäristössä.