Tietäisikö kukaan miten lasketaan vaikka laskuvarjohyppääjän tasapainonopeus eli hyppääjän saavuttama vakionopeus pitkän pudotuksen aikana? Ja tämä siinä tapauksessa että putoamiskiihtyvyyden lisäksi hyppääjään vaikuttaa ilman vastuksesta aiheutuva kiihtyvyys, joka on muotoa a=-Bv.
Vapaan pudotuksen tasapainonopeus
Kysymysmerkkimies
121020
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 12
Vanhimmat
Saat ratkaisun differentiaaliyhtälöstä jonka itsekin (melkein) kirjoitit, a = g - Bv, eli
dv/dt Bv - g = 0
Ratkaisu lienee jotain tyyliin v(t) = 1/B (g jotain joka ->0, kun t on suuri) ~ g/B.
Olen siis tämän tehtävän a)-kohdassa laskenut kaavan nopeudelle ajan funktiona v(t), kun a=-Bv, mutta onko siitä mitään hyötyä, kun lasketaan tasapainonopeutta. Sillä jos esitän asian sinun yhtälösi muodossa niin eikö:
a=g-Bv ,kun saavutetaan tasapainonopeus g=Bv => a=0
, jolloin v on mitä? Jotain tässä kai pitäisi derivoida, mutta mitä? Eihän nämä mitään Riemannin moniuleitteisia manifoldeja ole mutta ei vain silti lähde tämä tehtävä kulkemaan.
Tuo sinun vastauksesi on tietysti paljon simppeli, itse lähden aina tavan mukaan ratkaisemaan liikeyhtälöä... :) Jos sinulla on funktio nopeudelle v(t), saat tietysti tasapainonopeuden silloin kun dv/dt = 0 (eli tietysti a = 0) Derivoi lauseketta, jonka saat nopeudelle -> tasapainonopeus saavutetaan äärettömyydessä -> laske arvo v(ääretön).
Ja jos haluat tehdä saman laskun mielivaltaisella manifoldilla, joudut laskemaan myös metriikan kytkentäkertoimet ja ratkaisemaan geodeettisen yhtälön. :-)
Vapaassa pudotuksessa nopeus on tasainen ( mm. laskuvarjohyppääjillä n. 200 km/h), joka on ratkaisun peruslähtökohta. Nopeus siis kiihtyy, kunnes ilmanvastus pysäyttää kiihtyvyyden.
Kun kiihtyvyys on pysähtynyt pitää olla niin, että ilman vastuksesta aiheutuva vastusvoima ylöspäin
Fv = 0.5*roo*v^2*A*c
on yhtä suuri kuin maan painovoimakiihtyvyydestä aiheutuva voima alaspäin
Fp = m*g
Elikkä sopivalla arvolla v seuraa se, että Fv on yhtä suuri kuin Fp. Fv:n laskemiseksi esitetyn kaavan tekijät löytyvät seuraavasta linkistä:
http://fi.wikipedia.org/wiki/Ilmanvastus
Muotokerroin c ja poikkipinta A riippuvat tietysti putoavan kappaleen muodosta ja putoamisasennosta. Niille voi arvailla jotain karkeita arvoja jollain menetelmällä taikka katsella taulukoista, joita löytyy vaikkapa Wikipediasta taikka erilaisista käsikirjoista.
Siis:
Fv = Fp (ratkaise v)
->
m*g = 0.5*roo*v^2*A*c
->
v = sqrt(2*m*g/(roo*A*c))
Tuosta se lähtee ja on tietenkin jokin arvio.
Tarkempiakin kaavoja ilmanvastukselle löytyy ja se riippuu edellisten lisäksi mm. pinnan laadusta, Reynoldsin luvusta ko. tilanteessa, ilman paineesta, ilman lämpötilasta, jne.
Jos ilman vastuksesta aiheutuva "kiihtyvyys" on muotoa a=-Bv niin on tasapainotilassa tietysti
g = Bv
josta saadaan että putoamisnopeus on v = g/B.
Mikä kumma on ongelmana?
Katso nyt wikipediasta ilmanvastuksen kaava!
http://fi.wikipedia.org/wiki/Ilmanvastus
Ilmanvastus on suhteessa nopeuden TOISEEN POTENSSIIN! Ei ensimmäiseen!
Se, mikä vastuslaki on voimassa riippuu aivan kokonaan virtauksen nopeudesta ja pyörteisyydestä. Pölyhiukkasten kohdalla tuo lineaarilaki pitää aivan hyvin paikkansa.
Laskuvarjohyppääjälle maan ilmakehässä neliöllinen vastuslaki on paikkansapitävämpi. Venuksessa taas laskuvarjohyppääjäkin saattaisi noudattaa lineaarilakia, koska siellä kaasukehän tiheys on noin viisikymmenkertainen.
Aihehan oli
"Tietäisikö kukaan miten lasketaan vaikka laskuvarjohyppääjän tasapainonopeus eli hyppääjän saavuttama vakionopeus pitkän pudotuksen aikana? Ja tämä siinä tapauksessa että putoamiskiihtyvyyden lisäksi hyppääjään vaikuttaa ilman vastuksesta aiheutuva kiihtyvyys, joka on muotoa a=-Bv."
Eli kiihtyvyyden kerrottiin olevan muotoa a=-Bv. Ei se tietysti oikeasti niin ole.
muutat tehtävän antajan oletusta? Kysymyksessä on selvästi analyysiin liittyvä differentiaaliyhtälön ratkaiseminen. Matematiikkaa tämä on.
Kyseessä on ns. 1. kertaluvun lineaarinen differentiaaliyhtälö. Se ratkaisuja löytyy netistä ja oppikirjoista (analyysi).
dv/dt Bv = 0.
Sen yleinen ratkaisu on v= C e ^(-Bt). Yksityisratkaisuna kokeillaan vakiofunktiota v = k jne... Tästä saadaan yleiseksi ratkaisuksi v = (1/B)*g ce^(-Bt) ja näistä yhdessä saadaan
v = (g/B)(1 - e^(-Bt)).
Kun t lähestyy 0, niin v lähestyy g/B ( eli on vakio)
toiseen potenssiin, eikä lineaarisesti.
Kaavassa pitää siis olla v^2 eikä pelkkä v!
http://fi.wikipedia.org/wiki/Ilmanvastus
Kyllä se niin tietysti on, mutta kysyjä pyysi ratkaisua juuri lineaariseen riippuvuuteen. Toki ratkaisu löytyy myös kun sille oikealle tapaukselle. Täällä vain esittäminen on työlästä. Kyse on siis differentiaaliyhtälöstä ja kysyjä taitaa lähestyä ongelmaa pikemminkin analyysin kautta.