Tehtävänä olisi selvittää, millä verollisella korkokannalla säästäjä, joka laittaa joka vuosi 15 000 euroa tilille saisi kasaan 10 vuodessa 200 000 euroa.
Pohditaan hieman:
Olkoon p sijoitettava pääoma ja k korkoprosentti, jonka talletukselle saa vuodessa. Oletetaan talletus tehtävän vuoden alussa ja korko lisättävän vuoden lopussa, eli:
1. vuosi: p*k
2. vuosi: (p*k p)*k
...
n. vuosi: p*(k^n-1 ... k)
Eli voidaan muodostaa yhtälö
200 000 = 15 000*(k^10 ... k)
Tai yhtäpitävästi geometrisen sarjan summakaavan avulla:
S_n = a1 * (q^n - 1) / (q - 1)
=>
200 000 = 15 000*q^10-1/q-1
Josta pitäisi ratkaista q. Miten ihmeessä tämä onnistuu? Tämä on siis ammattikorkeakoulun talousmatematiikan harjoitustehtävä, eikä tämä aukea edes minulle matematiikkaa yliopistossa paljon opiskeelleelle. Selvästihän tuossa on 10. asteen polynomilauseke, jonka nollakohtaa tarvitsisi lähteä kaivamaan jostain. Jos suoritetaan summalausekkeen jakolasku, päädytään 9. asteen polynomiin, jossa ovat kaikki termit mukana.
Oikean vastauksen sain numeerisella approksimaatiolla, mutta onko tähän olemassa jokin formaalimpi menetelmä?
Kiitos vastauksistanne :)
Pohditaan hieman:
Olkoon p sijoitettava pääoma ja k korkoprosentti, jonka talletukselle saa vuodessa. Oletetaan talletus tehtävän vuoden alussa ja korko lisättävän vuoden lopussa, eli:
1. vuosi: p*k
2. vuosi: (p*k p)*k
...
n. vuosi: p*(k^n-1 ... k)
Eli voidaan muodostaa yhtälö
200 000 = 15 000*(k^10 ... k)
Tai yhtäpitävästi geometrisen sarjan summakaavan avulla:
S_n = a1 * (q^n - 1) / (q - 1)
=>
200 000 = 15 000*q^10-1/q-1
Josta pitäisi ratkaista q. Miten ihmeessä tämä onnistuu? Tämä on siis ammattikorkeakoulun talousmatematiikan harjoitustehtävä, eikä tämä aukea edes minulle matematiikkaa yliopistossa paljon opiskeelleelle. Selvästihän tuossa on 10. asteen polynomilauseke, jonka nollakohtaa tarvitsisi lähteä kaivamaan jostain. Jos suoritetaan summalausekkeen jakolasku, päädytään 9. asteen polynomiin, jossa ovat kaikki termit mukana.
Oikean vastauksen sain numeerisella approksimaatiolla, mutta onko tähän olemassa jokin formaalimpi menetelmä?
Kiitos vastauksistanne :)
Vastaukset 1
Vanhimmat
Juuria ei voi ilmoittaa ratkaisukaavan avulla. Kyseisesen yhdeksännen asteen polynomin Galois'n ryhmä Q:n suhteen on S_8, joka ei ole tunnetusti ratkeava.