Miten väännetään vaikeat yhtälöt
2x 5y=3z
4z-6x=y
z 3y=x
HKKK:ssa opiskeleva isoveljeni puhin matriiseista, mutta en käsitä niistä yhtään mitään.
2x 5y=3z
4z-6x=y
z 3y=x
HKKK:ssa opiskeleva isoveljeni puhin matriiseista, mutta en käsitä niistä yhtään mitään.
Vastaukset 7
Vanhimmat
Kyllä lineaaristen yhtälöryhmien ratkaiseminen onnistuu ihan lukiotiedoilla. Samat keinot ovat käytössä kuin yhtälöparienkin tapauksessa: yhden muuttujan ratkaiseminen ja sen sijoittaminen muihin yhtälöihin tai sopivasti kertominen ja sitten yhtälöiden yhteenlasku.
Toisen yhtälön takia tiedät jo, mitä y on x:n ja z:n avulla lausuttuna. Voit siis korvata muiden yhtälöiden y:t tuolla lausekkeella. Lähde siitä testailemaan.
Matriiseja ei välttämättä tarvita.
Ideana on, että kukin kolmesta yhtälöstä on taso (kuin ääretön paperiarkki) kolmiulotteisessa avaruudessa. Yhtälön ratkaisut ovat ne pisteet (x,y,z), joissa kaikki kolme tasoa koskettavat toisiaan. Jos mietit hetken millä eri tavoilla kolme tasoa voi kohdata, tajuat että ratkaisuja on joko 0, 1 tai ääretön määrä.
Rivioperaatioista: Kutakin yhtälöä voi vapaasti kertoa vakiolla. Yhtälöiden monikertoja voi myös lisätä tai vähentää toisiinsa.
Jos saat näiden keinojen avulla kaksi yhtälöä, jotka eivät selvästikään ole yhtäaikaa tosia, esim.
x y z=2
x y z=1
Ratkaisuja ei tällöin ole lainkaan, sillä 1 ei ole 2.
Jos sen sijaan kaikki yhtälöt ovat samoja, sinulla on äärettömän monta ratkaisua, eli kaikki pisteet tuolla tasolla.
Viimeinen mahdollisuus on se, että ratkaisuna on suora, eli yhtälö kahden suureen (vaikkapa x ja y) tai yhden parametrin (vaikkapa z) suhteen.
Esim. (2 3z, 1-5z, z) on esimerkki suorasta, missä z vaihtelee kaikkien mahdollisten lukujen välillä.
Periaatteessa rivioperaatioilla voi ratkaista minkä tahansa yhtälöryhmän, mutta se voi olla vaivalloista ja hankalaa. Matriisit ovat tällöin kova sana.
Kaikki paitsi vakiot vasemmalle puolelle, niin että x:t ovat allekkain, samoin y:t ja niin edelleen.
Luvut muodostavat 3*3 taulukon eli matriisin. Matriisista voi laskea sellaisen asian kuin 'determinantti', joka kertoo onko yhtälöryhmällä tasan yksi ratkaisu.
Esim. matriisille
a b c
d e f
g h i
Determinantti on a(ei-fh) - b(di-fg) c(dh-eg).
Katsomalla tarkemmin tuota kaavaa näet ehkä visuaalisen muistisäännön sille, miten se on muodostettu.
On olemassa tasan yksi ratkaisu täsmälleen silloin kun determinantti EI ole nolla.
Tällöin ratkaisu saadaan ottamalla käänteismatriisi ja kertomalla sillä yhtälöryhmän vakioiden muodostama vektori (oikealta puolelta yhtälöryhmää). Mutta omassa tapauksessasi tuo vektori on (0,0,0). Käänteismatriisilla ei tällöin ole väliä, sillä jos kerromme (0,0,0) matriisilla, saamme edelleen (0,0,0).
Joten jos determinantti on omassa tehtävässäsi ei-nolla, silloin ainoa ratkaisu on (0,0,0).
Jos käytät matriisia ja ajattelet determinanttia, niin determinantti saadaan tehtävässäsi kolmen eri kolmitulotteisen vektorin kokoelmasta. Vektorit määräytyvät yhtälöryhmän kertoimista. Nämä kolme vektoria sojottavat omiin suuntiinsa. Nämä ikäänkuin virittävät komiulotteisen suunnikkaan. Determinantti on tämän suunnikkaan tilavuus. Jos se = 0, niin yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua, muuten on. Determinantti on eräänlainen moniulettoinen yleistys 1-ulotteiselle skalaarille, joka kertoo yhtälöryhmän kääntyvyydestä.
.. on aina ratkaisu (0,0,0) ja sillä saattaa olla äärettömän monta ratkaisua, vaikka determinantti olisikin 0.
Esim. laajennettu matriisi:
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
Determinantti tietenkin nolla, mutta kaikki tason x y z = 1 pisteet ovat ratkaisuja.
... (0,0,0) on aina yksi ratkaisuista, jos vakiovektori on (0,0,0).
"Rivioperaatioista: Kutakin yhtälöä voi vapaasti kertoa vakiolla."
Ei kuitenkaan mielivaltaisella, vaan nollasta poikkeavalla vakiolla.
x=0, y=0, z=0
Aika helposti pääteltävissä.