Osoita, että jos Rank(Anxm)=m, niin A'A on kääntyvä (A on reaalimatriisi, A' transpoosi)
Ymmärrän tämän johtavan lineaariseen riippumattomuuden tarkasteluun, eli A sarakkeet ovat lineaarisesti riippumattomia eli Ac=0 joss c=0 (c on mx1 vektori). A'A on neliömatriisi (mxm) joten riittäisi kai osoittaa, että rank(A'A)=m myös. Eli pitäisi osoittaa, että
A'Ax=0 vain jos x=0. Mutta mutta..
Ymmärrän tämän johtavan lineaariseen riippumattomuuden tarkasteluun, eli A sarakkeet ovat lineaarisesti riippumattomia eli Ac=0 joss c=0 (c on mx1 vektori). A'A on neliömatriisi (mxm) joten riittäisi kai osoittaa, että rank(A'A)=m myös. Eli pitäisi osoittaa, että
A'Ax=0 vain jos x=0. Mutta mutta..
Vastaukset 1
Vanhimmat
Oleta, että löytyy x=/=0, jolle A'Ax=0.
Kerro tämä yhtälö puolittain x' vasemmalta saat
x'A'Ax=x'0=0
(Ax)'(Ax)=0
Eli |Ax|^2=0 (|x| on vektorin euklidinen normi)
Siis vektorin Ax "pituus" on 0 ja se on mahdollista vain kun Ax=0, mutta tämä on ristiriidassa oletuksen Ac=0 joss c=0 kanssa. Siis x=0. MOT.