Miten osoitetaan, että
Ympyrän pinta-ala on Pii*r*r (r on säde)
Tiedän että se osoitetaan n-sivuisella säännöllisellä monikulmioilla jotka piirretty sisään ja ulkopuolelle. Koska nämä monikulmiot hestyvät toistensa pinta-aloja niin myös ympyrä lähestyy samaa pinta-alaa. Mutta sitten ne monikulmioiden pinta-alat? Jotenkin ne tulisi pyörittää esiin.. osaako joku?
Ympyrän pinta-ala on Pii*r*r (r on säde)
Tiedän että se osoitetaan n-sivuisella säännöllisellä monikulmioilla jotka piirretty sisään ja ulkopuolelle. Koska nämä monikulmiot hestyvät toistensa pinta-aloja niin myös ympyrä lähestyy samaa pinta-alaa. Mutta sitten ne monikulmioiden pinta-alat? Jotenkin ne tulisi pyörittää esiin.. osaako joku?
Vastaukset 11
Vanhimmat
säännöllinen n-kulmio, pinta-ala n*½r^2*sin a, missä
n*a = 2*pi. Merkitään t=2*pi/t, siis saadaan
r^2*pi*(sin t)/t, kun n->ääretöntä, niin t->0.
siis alaksi saadaan pi*r^2, koska (sin t)/t -> 0, kun t -> 0 (tämän voit osoittaa geometrisesti).
jos ohittaa nuo pari painovirhettä.
Siinä lähdetään kuitenkin siitä, että täysikulma on 2*pii, ja päädytään, että ala on pii*r^2.
Tuo on minun mielestäni yhtä ja samaa absoluuttisten kulmamittojen määritelmää, eli täysi kulma on määritelty olevan 2*pii, koska ympyrän pinta-alan tiedettiin olevan pii*r^2.
Ei vaan ympyrän kehän pituuden suhde halkaisijaan on vakio ja tuo vakio on Pii (määritelmä)
Ja monikulmioiden piirit lähestyvät toisiaan ja samalla ympyrän kehän pituutta joka on 2*Pii*r.
Piirretään sisään 96 kulmio. Sen keskuskulma on 360/96=3,75
Sen kulmion ala on sin(3,75/2)*cos(3,75/2)*96*r^2=3,13934*r^2
Piirretään ulkopuolelle 2*96 =192 kulmio.
Sen keskuskulma on 360/192=1,875
Sen kulmion ala on sin(1,875/2)/cos(1,875/2)*192*r^2=3,14187*r^2
Ympyrän ala on tuolla välillä, ja jos lisää monikulmioitten kulmien lukumääriä kuitenkin niin, että ulkona on aina kaksinkertainen määrä, niin lähestytään pii*r^2.
Kuvion piirtämällä selviää nuo sinit ja cosinit. Niillä se on helppoa, mutta en tiedä millä Arkhimedes nuo alat laski.
ulkona ala=tan(90/n)*2n*r^2
sisällä ala=sin(180/n)*cos(180/n)*n*r^2
jos noihin sijoittaa n=1000, niin
ulkoala on 3,141595*r^2
sisäala on 3,14157*r^2
pii on 3,14159265...
Jos se kerran menee sineillä ja cosineilla, niin se menee myös yhdenmuotoisilla kolmioilla ja Pythagoraan lauseella, sehän oli käytettävissä.
Myöskin Euklides oli jo luonut geometriansa, joten tämä saattoi olla Arkhimedeelle hyvinkin helppoa.
Arkhimedes käytti tosiaan 96-kulmiota, mutta molemmilla puolilla. Sekin saattaa helpottaa kolmioiden piirtelyä. Arkhimedes sai piille arvon
3 ja 10/71----3 ja 10/70, noiden välissä.
koulupojan kolmion ja käytti siksi 96-kolmiota, koska 8*3,75 astetta=30 astetta.
On siinä kyllä vähän vääntämistä, mutta jos suorakulmaisessa kolmiossa kulma on 3,75, niin vastaisen kateetin suhde hypotenuusaan on:
SQRT(0,5*(1-SQRT(0,5 (0,25*(2 SQRT(3))))))
yksi neliöjuuri pois
SQRT(0,5*(1-SQRT(0,5 (0,25*SQRT(2 SQRT(3))))))
Arkhimedeen analyysi:
http://www.math.ubc.ca/~cass/archimedes/circle.html
laske kyseisen monikumion pinta-ala summaamalla eri osat yhteen.
Tämän jälkeen osoita, että kun n lähestyy ääretöntä, niin pinta-ala lähetyy arvoa pi*r^2.
Jos saa käyttää tietoa, että kehä on 2*pi*r, niin integroidaan (2*pi*t) nollasta r:ään, josta suoraan saadaan pinta-ala.