Päivää matemaatikot!
Minulla on vähän ongelmia matikan kanssa, ehkä joku osaa auttaa..?
Ongelma:
Jaa polynomi enintään toisen asteen reaalikertoimisiin tekijöihin.
a) z^8 - 256
b) (z^4 1)^2 - z^4
Näissä kai pitäisi käyttää jotenkin hyödyksi algebran peruslausetta?
Thanks in advance!
Minulla on vähän ongelmia matikan kanssa, ehkä joku osaa auttaa..?
Ongelma:
Jaa polynomi enintään toisen asteen reaalikertoimisiin tekijöihin.
a) z^8 - 256
b) (z^4 1)^2 - z^4
Näissä kai pitäisi käyttää jotenkin hyödyksi algebran peruslausetta?
Thanks in advance!
Vastaukset 3
Vanhimmat
Tehtävän ratkaisuun ei tarvita algebran peruslausetta joka sanoo, että n-asteen polynomi voidaan jakaa n tekijään muotoa A*(Z-Z1)*...*(Z-Zn), missä Zi ovat kompleksilukuja ja A n-asteen termin kerroin.
Seuraus: Reaalikertoiminen polynomi voidaan jakaa reaalikertoimisiin 1. ja 2. asteen polynomeihin.
a) Z^8-256=0
Z^8=256 on kaksi reaalista ratkaisua Z= /-2
Jaa jakokulmassa Z^8-256 : (Z-2)
Ja jatkat...
z^8-256
(z^4 16)*(z^4-16)
((z^2 4)(z^2 4)-8z^2)*(z^2 4)(z^2-4)
(z^4 1)^2-z^4
(z^4 1-z^2)*(z^4 1 z^2)
(z^2(z^2-1) 1)*(z^2(z^2 1) 1)
nollakohtia ovat kahdeksannet ykkösen juuret kompleksitasossa kerrottuna luvulla 2. Kun ykkösen juurta ja sitä vastaavaa liittolukua vastaavat lineaariset tekijät kerrotaan keskenään, saadaan vastaavat toisen asteen reaalikertoimiset tekijät helposti selville.
Kohdassa b) tarkastellaan vastaavasti 12. ykkösen juuria. Tämä selviää kertomalla ko. polynomi polynomilla (z^4-1)
Jos nimittäin ((z^4 1)^2-z^4)=0, niin myös (z^4-1)*((z^4 1)^2-z^4)=...=z^12-1=0.
Tämä vihjeeksi.
MKS