Luen matikan yo kokeeseen ja tähän mennessä tullut pari ongelmallista tehtävää. Kysyn tähän samaan ketjuun lisää kun tulee vastaan.
Janan AB pituus on k. Piste a on x-akselilla ja piste b y-akselilla. Minkä käyrän piirtää janan keskipiste? Määritä käyrän yhtälö.
Toinen ongelma
Mihin pisteeseen tullaan, kun pisteestä (1,1) siirrytään neliöjuuri 10 pituusyksikköä janan y=3x suuntaisesti?
Kolmas ongelma
Määritä paraabelin y=x^2 1 ja ympyrän x^2 y^2=1 yhteiset tangentit.
Kiitän!
Janan AB pituus on k. Piste a on x-akselilla ja piste b y-akselilla. Minkä käyrän piirtää janan keskipiste? Määritä käyrän yhtälö.
Toinen ongelma
Mihin pisteeseen tullaan, kun pisteestä (1,1) siirrytään neliöjuuri 10 pituusyksikköä janan y=3x suuntaisesti?
Kolmas ongelma
Määritä paraabelin y=x^2 1 ja ympyrän x^2 y^2=1 yhteiset tangentit.
Kiitän!
Vastaukset 8
Vanhimmat
vektori janalle on xi yj, ja janan suuntainen vektori on -xi yj.
Koska kyse oli janan keskipisteestä sen pituus on oltava k/2.
sqrt((-x)^2 y^2)=k/2, eli x^2 y^2=(k/2)^2
origokeskeinen ympyrä, jonka säde on k/2
y=3x, derivoimalla saadaan y`=3=tan(alfa)
Pythagoraan lauseella suorakulmaisesta kolmiosta,
jonka x-suuntainen kateetti on a ja y-suuntainen kateetti on 3a,sekä hypotenuusa sqrt(10), saadaan a^2 (3a)^2=10, josta a=1
x-suunnassa mennään siis a*1=1 ja y-suunnassa a*3=3
ja piste on x=1 1=2 ja y=1 3=4
Kolmannessa pitää asettaa molempien käyrien tangenttien kulmakertoimet samaksi, ja ratkaista tästä pisteet mihin tangentit piirretään.
Paraabelin kulmakerroin on sen derivaatta pisteessä x, eli 2x, ja ympyrän -x/(sqrt(x^2 1))
Nuo kun laittaa samaksi tulee 2x=-x/(sqrt(x^2 1))
eli x*(2 (1/(sqrt(x^2 1))))=0, josta x=0 on ainoa reaaliratkaisu, ja kulmakerroin on siis 0.
Paraabelin yhtälöön sijoittamalla x=0 saadaan y, joka on 1, ja tangentin yhtälö on y-1=0*(x-0)=>y=1
Ympyrän yhtälöön sijoittamalla x=0 saadaan y= -1, ja tangentin yhtälö y= -1.
Ainoa yhteinen tangentti on y= 1.
on ympyrän yhtälö ja derivaatta väärin.
Ympyrän yhtälö on y= -sqrt(1-x^2), ja derivaatta
-x/sqrt(1-x^2),ja 2x= -x/sqrt(1-x^2)
Ei tästäkään kuitenkaan löydy muita reaaliluku
arvoja x:lle kuin x=0, ja loppu tehtävästä on oikein.
x= -sqrt(3)/2, joten k= -sqrt(3), ja paraabelin tangenttien yhtälöiksi: y= -sqrt(3) (1/4).
Nänä menevät kuitenkin ympyrän läpi, eikä näistä ole sen kanssa yhteisiksi tangenteiksi, vaikka sama kulmakerroin onkin.
Tuli vielä tosta analyyttisesta geometriasta vielä 1 paha pulma.
Tehtävä: Matin polkupyörästä on kadonnut ketjut. Matti mittää ketjupyörien keskipisteen väliseksi välimatkaksi 30cm. Suuremman ympyrän kautta, jota ketju kulkee halkaisija on 30cm ja pienemmän 18cm. Kuinka pitkät ketjut matin on hankittava?
Lähdin miettimään tehtävää siten, että sijoitin suuremman ympyrän origoon ja piirsin sille tangentit sekä laskin kulmakertoimet kun ne saa tosta halkaisijasta ja ympyröiden välimatkan avulla laskettua. Mitä sitten?
Kulmakertoimista saat kulmat sekä niiden avulla edelleen ketjupyörien ja ketjun yhteisten kosketuskaarien pituudet. Suorat osuudet ovat pelkkää Pythagoraan soveltamista. Sitten lopuksi summataan.
Muuten semmonen, että jos on tehtävä:
Kun vorenhuippua katsoo eräästä pisteestä se näkyy 17 asteen kulmasta ja 2km pohjoiseen 15 asteen kulmassa, niin kuinka korkea vuori on...`??
Niin en oikeen osaa piirtää tota sillee hyvin, että olisi kovin havainnoillinen, niin onkohan ton tyyppiset tehtävät helpompi ratkoa vektoreilla?
Tässä varmaan kannattaa sijoittaa tapaus koordinaatistoon siten, että ensimmäinen katselupiste on origossa, ja pohjoinen x-akselin miinussuunnassa.
Vuoren huippu on positiivisella puolella
pisteessä(x,y), ja toinen katselupiste on (–2,0).
Ekan katselupisteen ja huipun välisen suoran
yhtälö on : y-0=tan17(x-0)=>y=tan17*x
Tokan katselupisteen ja huipun välisen suoran
yhtälö on: y-0=tan15(x 2)=>y=tan15*x 2*tan15
Nuo kun merkkaa samoiksi saa huipun x-koordinaatin,ja sijoittamalla sen ekaan, saa huipun y-koordinaatin.
Minä sain y=2tan15*tan17/(tan17-tan15),
noin 4,4 km.
helposti.
Piirretäänpä kuva tilanteesta:
^ y
...|
...|
...|\
...|.\
...|..\
...|...\
...|....\
...|.....\
...|-----* (x,y)
...|.....|\
...|.....|.\
...|.....|..\
...|.....|...\
...|.....|....\
...|.....|.....\
---|-----|------------>x
Tuloksena on suorakaide ja kaksi yhdenmuotoista kolmiota (kulmat samat), jotka ovat myös yhtenevät, koska molemmissa hypotenuusa on k/2.
Isolle kolmiolle saadaan nyt Pythagoraan lauseen avulla
(2x)^2 (2y)^2=k^2,
mistä edelleen
x^2 y^2=(k/2)^2
Tämä on origokeskeisen k/2-säteisen ympyrän yhtälö.