Gödelin epätäydellisyysteoreeman mukaan aksiomaattista järjestelmää ei voida osoittaa ristiriidattomaksi sen omista aksioomista lähtien. Toisaalta Gödelin epätäydellisyysteoreemassa on nojauduttava joihinkin määritelmiin. Näin ollen herää kysymys koskeeko Gödelin epätydellisyysteoreema myös Gödelin epätäydellisyysteoreemaa itseään.
Onko siis niin että Gödelin epätäydellisyysteoreemaa ei voida osoittaa ristiriidattomaksi Gödelin epätäydellisyysteoreemasta lähtien?
Onko siis niin että Gödelin epätäydellisyysteoreemaa ei voida osoittaa ristiriidattomaksi Gödelin epätäydellisyysteoreemasta lähtien?
Vastaukset 8
Vanhimmat
... koko homman hieman väärin. Vaikka Gödelin teoreema olisikin väite jossakin aksioomajärjestelmässä, jonka ristiriidattomuutta ei voi osoittaa sen omista aksioomista lähtien, silti mikään ei estä sitä olemasta samalla väite jossakin suuremmassa aksioomajärjestelmässä, jonka aksioomista lähtien VOIDAAN todistaa pienemmän aksioomajärjestelmän ristiriidattomuus. :)
Esimerkki: Peanoaritmetiikan ristiriidattomuutta ei voi osoittaa peanoaritmetiikan avulla, mutta sen ristiriidattomuus voidaan osoittaa ZFC:n avulla.
Ensinnäkään teoreema ei ole sama asia kuin aksiomaattinen järjestelmä. Mitä tarkoittaa 'teoreeman ristiriidattomuus'? En myöskään ymmärrä mitä ihmettä mahtaa tarkoittaa kysymys, että 'voidaanko teoreema todistaa itsestään lähtien?' Ei tietenkään voida. Emme halua mitään ympyrätodistuksia.
Toinen yleinen väärinkäsitys on, että Gödel osoitti 'olevan tosia lauseita, joita ei voi todistaa'. Näin ei ole. Hän vain todisti, että mikään aksiomaattinen järjestelmä ei kykene todistamaan kaikkia tosia lauseita.
Pahoittelen jo etukäteen, jos olen selittänyt väärin. En ole mikään ekspertti näissä.
Kiitokset hyvästä vastauksesta! Myönnän etten ymmärrä Gödelin teoreemaa tarpeeksi. Vastausten perusteella alkuperäinen kysymys pitäisi luultavastikin muotoilla seuraavasti:
Gödelin epätäydellisyysteoreeman todistus perustuu metamatiikkaan (joka täyttänee järjestelmän vaatimukset). Onko siis niin että metamatematiikkaa ei voida osoittaa ristiriidattomaksi Gödelin epätäydellisyysteoreemasta johtuen? Jos metamatematiikka on epätäydellinen, niin miksi Gödelin teoreemaan voidaan käyttää toisen aksioomajärjestelmän osoittamiseksi epätäydelliseksi?
Jos metamatematiikka on täydellinen, niin sitten tuntuu luontevalta että Gödelin teoreemaa voidaan käyttää kuten sitä käytetään.
Toivottavasti kysymyksen asettelussa on nyt enemmän ymmärrettävyyttä.
... ehkäpä metamatematiikka ei vain ole matematiikkaa, vaan filosofiaa? Heh. En tiedä tarpeeksi asiasta.
Koko eksaktin matematiikan "ankara" todistustapahan on omaksuttu filosofiasta. Vuorovaikutusta tietysti on ollut; ehkä "matemaattinen logiikka" on paras kuvaus tieteenhaaralle, jossa noita pohditaan. "Metamatematiikka" on aika keinotekoinen käsite. Minusta Gödel oli enemmän filosofi kuin matematemaatikko. Saa toki olla toista mieltäkin.
lauseesta.
Aksioomajärjestelmä voidaan järjestelmän sisäisellä loogisella päättelyllä osoittaa ristiriitaiseksi. Tämä tarkoittaa yksinkertaisesti sitä, että ei ole olemassa reaalisaatiota, ts. matemaattista struktuuria, joka toteuttaisi ko. aksioomajärjestelmän.
Sen sijaan aksioomajärjestelmä voidaan osoittaa ristiriidattomaksi ainoastaan konstruoimalla sille realisaatio, joka toteuttaa ko. aksioomajärjestelmän.
Kannattaa huomata merkittävä ero teoreeman ja 'tosin lauseen' välillä. Teoreema on väittämä, minkä kaikki aksioomajärjestelmän realisaatiot toteuttavat, ja jonka voidaan osoittaa näin tekevän aksioomajärjestelmän sisäisellä loogisella päättelyllä.
'Tosi lause' sen sijaan on aina yksilölliseen realisaatioon liittyvä tosiseikka.
Aksioomat ovat järjestelmänsä realisaatiossa aina tosia lauseita, mutta tosit lauseet eivät välttämättä ole aksioomia tai niistä (edes periaatteessa) johdettavissa olevia teoreemia.
Gödelin lause tarkoittaa sitä, että on olemassa matemaattisia struktuureja, realisaatioita, joita mikään äärellinen aksioomajärjestelmä ei karakterisoi täydellisesti. Se tarkoittaa sitä, että kaikkia aksioomajärjestelmän realisaation ominaisuuksia ei voida johtaa ko. aksioomajärjestelmästä.
Aksioomajärjestelmä karakterisoi realisaation täydellisesti ainoastaan siinä tapauksessa, että on olemassa täsmälleen yksi mahdollinen realisaatio, joka toteuttaa ko. järjestelmän täydellisesti.
Filosofisella tasolla tämä tarkoittaa sitä, että esim. nimimerkkiä nkorppi ei koskaan voida yksilöidä täydellisesti, vaikka hänen henkilökohtaiset ominaisuutensa kuvattaisiin minkä tahansa äärellisen lausejoukon avulla. Koskaan emme voi tietää, että jossakin muualla maapallolla, maailmankaikkeudessa tai vaikkapa toisessa ulottuvuudessa ei olisi toista 'nkorppia', joka toteuttaa kaikki kuvatut ominaisuudet, mutta poikkeaa tuntemastamme nkorpista jossain oleellisessa mainitsematta jääneessä suhteessa. Tämä pätee myös matemaattisiin struktuureihin.
riippumattomuus tietystä aksioomajärjestelmästä ts. todistamattomuus siinä, halutaan osoittaa, niin pitäisi konstruoida kaksi ko. aksioomajärjestelmän reaalisaatiota, joista toisessa ko. lause on tosi ja toisessa epätosi.
Tässäkin on kysymyksessä sellainen dualismi, jota en ole nähnyt kunnolla eksplisiittisesti ja havainnollisesti ilmaistuna ainakaan suomalaisissa matematiikan alan oppikirjoissa missään.
Mistähän tämä johtuu?
Kiitos kaikista vastauksista tähän mennessä. Yhteenvetoa vastauksista:
"Gödelin lause tarkoittaa sitä, että on olemassa matemaattisia struktuureja, realisaatioita, joita mikään äärellinen aksioomajärjestelmä ei karakterisoi täydellisesti. Se tarkoittaa sitä, että kaikkia aksioomajärjestelmän realisaation ominaisuuksia ei voida johtaa ko. aksioomajärjestelmästä."
"jos lauseen riippumattomuus tietystä aksioomajärjestelmästä ts. todistamattomuus siinä, halutaan osoittaa, niin pitäisi konstruoida kaksi ko. aksioomajärjestelmän reaalisaatiota, joista toisessa ko. lause on tosi ja toisessa epätosi."
Todettakoon tähän väliin omina näkemyksinä että
- On ihan ok että aritmeettinen järjestelmä on epätäydellinen eli että aritmetiikassa on tosia väittämiä joita ei voida aritmeettisen järjestelmän sisällä osoittaa todeksi.
- On ihan ok että Gödelin epätäydellisyysteoreemaan metamatemaattinen todistus on metamatematiikan sisällä tosi.
- Voisi kuitenkin kuvitella että metamaattinen teoreema ei ole pätevä kaikissa toisissa järjestelmissä, vaan ainoastaan sellaisissa joissa metamatematiikan ja toisen järjestelmän suhde voidaan "jollakin sopivalla tavalla ilman epäjatkuvuuksia yhteensovittaa täydellisesti".
Uusi kysymyksen muotoilu #2:
Miksi Gödelin metamatemaattiseen todistukseen perustuva teoreema pätee toisessa järjestelmässä esim aritmetiikassa? Miksi ei tyydytä ajattelemaan että Gödelin teoreema on pätevä vain ja ainoastaan sen järjestelmän sisällä jossa se on todistettu (metamatematiikassa)?
Lisätietoa sekä siitä milloin Gödelin teoreema pätee että mikä on metamatematiikan/aritmetiikan suhde esim seuraavista lähteistä ...
Artikkelissaan "Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I" Gödel osoitti vain, että jokainen systeemi, joka sisältää luonnolliset luvut ja niiden yhteen- ja kertolaskut, on välttämättä epätäydellinen. Aiheesta on myöhemmin tehty laajennuksia.
- http://users.jyu.fi/~juhaleh/godel.html
The conclusions of Gödel's theorems only hold for the formal systems that satisfy the necessary hypotheses. Not all axiom systems satisfy these hypotheses, even when these systems have models that include the natural numbers as a subset.
- http://www.glossary.com/encyclopedia.php?q=Godel's_incompleteness_theorems
Metamatematiikaksi kutsutaan kieltä, joka käsittelee matematiikkaa, esimerkiksi kertoo jotain siitä, mitä matematiikka on ja miten se toimii. Suurin osa Gödelin artikkelista käsittelee juuri sitä, miten metamatematiikan lauseiden kääntäminen aritmetiikan kielelle onnistuu.
- http://users.jyu.fi/~juhaleh/godel.html