"Esitä esimerkki metrisestä avaruudesta ja sen osajoukoista A,B,C ja D siten, että
A on avoin, mutta ei suljettu
B on suljettu, mutta ei avoin
C on avoin ja suljettu
D ei ole avoin eikä suljettu"
Kyselin aikoja sitten tällä palstalla, että miten erakkopisteen joukko voi olla avoin. Sain kaikenlaisia vastauksia, joita en kaikkia perinpohjin ymmärtänyt. Esitin lisäkysymyksiä sekä argumentteja vastauksia vastaan, mutta näihin ei vastattu. Erakkopisteen kohtalo on siis minulle edelleen avoin. Alla on linkki kyseiseen threadiin:
http://keskustelu.suomi24.fi/show.fcgi?category=2000000000000020&conference=4000000000000027&posting=22000000039292927
Koekysymyksen tapaukset A ja B ovat selviä, mutta meikäläiselle eivät mene jakeluun tapaukset C ja D. Voisiko joku selventää minulle esimerkiksi sen, miten esim. avaruudet R ja R^2 ovat sekä avoimia että suljettuja?
A on avoin, mutta ei suljettu
B on suljettu, mutta ei avoin
C on avoin ja suljettu
D ei ole avoin eikä suljettu"
Kyselin aikoja sitten tällä palstalla, että miten erakkopisteen joukko voi olla avoin. Sain kaikenlaisia vastauksia, joita en kaikkia perinpohjin ymmärtänyt. Esitin lisäkysymyksiä sekä argumentteja vastauksia vastaan, mutta näihin ei vastattu. Erakkopisteen kohtalo on siis minulle edelleen avoin. Alla on linkki kyseiseen threadiin:
http://keskustelu.suomi24.fi/show.fcgi?category=2000000000000020&conference=4000000000000027&posting=22000000039292927
Koekysymyksen tapaukset A ja B ovat selviä, mutta meikäläiselle eivät mene jakeluun tapaukset C ja D. Voisiko joku selventää minulle esimerkiksi sen, miten esim. avaruudet R ja R^2 ovat sekä avoimia että suljettuja?
Vastaukset 7
Vanhimmat
Joukko on avoin jos sen jokaisella pisteellä on palloympäristö joka on joukon osajoukko.
Tyhjä joukko on avoin, koska sillä ei ole pisteitä eli kaikki sen pisteet (joita ei siis ole) toteuttavat avoimmuus ehdon.
Täten R on suljettu sillä sen komplementti tyhjä joukko on avoin.
Selvästi R on avoin, sillä jokaiselle pisteelle a löytyy esim. väli (a-1,a 1) joka on R osajoukko. Siis R on avoin ja suljettu.
D kohtaan kelpaa mikä tahansa puoliavoin väli R:ssä esim. (1,2] ei ole avoin eikä suljettu.
Vastaavasti R^2 esim. joukko
{(x,y):x y=
No niinpä niin, R:n komplementtihan on tietysti tyhjä joukko... Kelailin koko ajan, ettei R:llä voi olla mitään komplementtia, mutta tämä selvensi asian. Kiitos.
Ja tosiaan nuo sekä avoimet että suljetut joukot selittyvät niinkin simppelisti kuin puoliavoimilla R:n väleillä.
"Erakkopisteen kohtalo on siis minulle edelleen avoin."
Aiemmassa säikeessä pohdit väitettä "metrisen avaruuden erakkopisteiden joukko on avoin". Ymmärtääkseni sinua vaivasi se, että väite tuntuu triviaalisti epätodella tavanomaisessa euklidisessa avaruudessa R^2.
Ajatteluvirheestäsi vihjasi jo Ffffs, mutta tässä se nyt tulee vielä uudestaan:
Avaruudessa R^2 pisteen x ympäristöön sisältyy aina muitakin pisteitä kuin x itse. Tämä ei kuitenkaan tarkoita, etteikö erakkopisteiden joukko olisi avoin --- vaan ettei erakkopisteitä ensinkään ole! Siis väite "metrisen avaruuden erakkopisteiden joukko on avoin" pätee kaikissa avaruuksissa (todistus aiemmassa säikeessä), sillä osassa avaruuksia erakkopisteiden joukko on tyhjä. Kuten tiedetään, tyhjän joukon alkioille pätee mikä hyvänsä väite.
Eli siis: Euklidisessa avaruudessa ei ole erakkopisteitä, joten niiden joukko on tyhjä joukko, joka on avoin. Jos taas avaruudessa X on erakkopisteitä, jokaisen niistä joukko on avoin, sillä jokaisella erakkopisteellä a on olemassa ympäristö, johon ei sisälly pisteitä a:n komplementista.
Tämä selvä. Ongelmana minulla oli tuo tyhjä joukko ja se, että se on avoin. Pitää yrittää paremmin jatkossa muistaa tuon tyhjän joukon olemassaolo ja sen ominaisuudet.
" jokaisen niistä joukko on avoin, "
Mitä yrität sanoa?
"johon ei sisälly pisteitä a:n komplementista."
Alkiolla ei ole komplementtia, joukolla {a} on.
"Alkiolla ei ole komplementtia, joukolla {a} on. "
No joo, näin taitaa olla.
"jokaisen niistä joukko on avoin"
Tarkoitin jokaisen pisteen a joukko {a}.
topologian todistuksissa joudutaan käsittelemään tyhjä ja epätyhjä joukko erikseen. Tyhjän joukon tapaus on tietysti useimmiten se triviaalimpi vaihtoehto, mutta silti.