Taylor-polynomeja voidaan käyttää approksimoimaan funktiota. Taylorin sarja suppenee jollain tietyllä välillä kohti haluttua funktiota. Välin keskipisteenä on ns. kehityskeskus.
Mitä oikeastaan tarkoitetaan Taylor-polynomin kehityskeskuksella? Miksi se ei aina ole origo, ja mitä hyötyä on tiedosta, että Taylor-sarja suppenee muuallakin kuin kehityskeskuksessa?
Mitä oikeastaan tarkoitetaan Taylor-polynomin kehityskeskuksella? Miksi se ei aina ole origo, ja mitä hyötyä on tiedosta, että Taylor-sarja suppenee muuallakin kuin kehityskeskuksessa?
Vastaukset 3
Vanhimmat
Joskus on laskennallisesti kätevää ottaa kehityskeskukseksi jokin muu kuin origo. Ei tule esimerkiksi neliöjuuria tai logaritmien arvoja sisältäviä lausekkeita.
Jokainen Taylorin sarja suppenee kehityspisteessään, mutta jos vain siinä niin sarjasta ei ole yhtään mitään hyötyä. Jos tiedetään että suppenee myös pisteen lähiympäristössä (tai kaikkialla) niin sarjaa voidaan käyttää korvaamaan funktio teorian muodostuksessa ja todistuksissa ja käytännön kannalta tärkein on se, että taylorin sarjaa voidaan käyttää laskemaan funktion likiarvoja. esim. laskimet laskevat mm. sin, cos , exp , ln juurikin taylorin sarjoja käyttäen.
Olkoon f(x)=e^x - e^(-x) - 2sinx, ja g(x)=sin^3 x. Pitäisi laskea raja-arvo (lim_x->0 f(x)/g(x)) käyttäen Taylorin polynomeja. Vinkkinä että ota Taylorin 3. polynomi pisteessä 0.
Osaan kyllä laskea tuon mekaanisesti, mutta mistä pitäisi tietää/arvata että juuri kolmas ja miksi pisteessä nolla.
Yleensä sitä ei etukäteen tiedäkään. Tehtävä laatija on varmaankin itse kokeillut, kuinka monennen asteen Taylorin polynomi tarvitaan. Sitten hän on huomannut, että 3. aste toimii ja on laittanut sen vinkiksi. Nolla tulee siitä, että raja-arvo lasketaan nollassa. Tällöin Taylorin polynomin arvo on sama kuin funktion arvo nollassa.