Todista induktiolla geomertisen sarjan summakaava
n k n 1
Su X = X - 1
k=0 ------------, kaikilla X erisuuri kuin 1.
X - 1
b)Anna kaava myös tapaukselle X = 1.
n k n 1
Su X = X - 1
k=0 ------------, kaikilla X erisuuri kuin 1.
X - 1
b)Anna kaava myös tapaukselle X = 1.
Vastaukset 6
Vanhimmat
tapaus n = 0
saadaan 1=x^0=(x^(0 1)-1)/(x-1)=(x-1)/x-1)=1,
siis tapaus n=0 on ok.
oletetaan, että n=k-1 on tosi,
siis että 1 x ... x^(k-1)=(x^k-1)/(x-1).
Nyt tapaus n=k,
oletuksen nojalla 1 x ... x^(k-1) x^k
= (x^k-1)/(x-1) x^k = (x^k-1)/(x-1) x^k(x-1)/(x-1)
=[x^k-1 x^k(x-1)]/(x-1)
=[x^k-1 x^(k 1)-x^k)]/(x-1)
=[x^(k 1)-1]/(x-1), siis
1 x ... x^(k-1) x^k = [x^(k 1)-1]/(x-1)!!
tutki nyt itse b) kohtaa!
Huomaa, tapauksella n=0 osoitit, että ensimmäinen dominopalikka kaatuu, lopussa kun osoitettiin, että oletuksen avulla seuraa seuraavan kaatuminen, niin tavallaan näytettiin, että loputkin dominopalikat kaatuvat!
oletetaan, että n=k-1 on tosi,
siis että 1 x ... x^(k-1)=(x^k-1)/(x-1).
-Pitikö tuon viimeisen rivin oikean puolen olla
x^(k-1)-1 /(x-1)?
-Miten selittäisitte sanallisesti nimenomaan tapausta n=k?
ESIM.
vasen puoli:
1 1/2 1/4 = 4/4 2/4 1/4 = 7/4
oikea puoli:
((1/2)^3-1)/(1/2 - 1)=(-7/8)/(-1/2)=7/4
Siis esityksessä
eksponentti kasvaa yhdellä, tällä tarkoitan, että
kun vasemmalla puolella summataan aina N:teen potenssiin
että 1 x x^2 ... x^N = ...
niin oikealla puolella kaavassa esiintyy eksponentti N 1
siis
...= ( x^(N 1)-1 )/(x-1) !!
Sanallisesti loppuosa:
Kirjoitetaan väitteen vasen puoli viimeisessä tapauksessa, eli tässä n=k (sillä induktio oletuksessa n=k-1)! Siis saatiin summa
1 x x^2 ... x^(k-1) x^k! Nyt tästä korvataan alkuosa induktio-oletuksen mukaan, tämä sijoitus siis takaa, että oletuksesta seuraa tämänkin tapauksen totuus. Nyt siis saadaan
(x^k-1)/(x-1) x^k, eli
induktio-oletus viimeinen termi x^k.
Nyt esitys täytyy vain muokata oikeanlaiseen muotoon, eli kun nyt summattiin aina eksponenttiin k saakka, niin oikealle täytyy saada eksponentti k 1!
Siis muokkaa summa (x^k-1)/(x-1) x^k muotoon
(x^[k 1]-1)/(x-1) ja olet valmis!!!!
Mitä polynomien laskusääntöjä on käytetty auki kirjoitettaessa tapauksessa n=k?
periaatteessa loppuosa on muotoa
(a b)/c d=(a b)/c d*c/c=(a b c)/c
Induktiotodistukset on helvetistä sitä itseään.
Esitetyn lisäksi pitää todistaa, että todistus kattaa kaikki tapaukset. Helppo juttu tuossa tapauksessa.
Sitten pitää todistaa, että askelet ovat toisistaan riippuvaisia vain induktiotodistuksen vaatimalla tavalla. Tämä on vähän vaikeampaa.
Ja kenties pitää todistaa vielä jotain muutakin, mutta tästä jatkakoon joku, jolla on tohtorin paperit matematiikasta, ja joka ymmärtää induktiotodistuksen sudenkuopat. Maisterin papereilla induktiotodistustekniikkaa ei ainakaan ennen vielä hallinnut.