Tilanne on seuraava:
Tasasivuisen kolmion sisään piirretään ympyrä. Seuraavaksi kolmiosta ympyrän ulkopuolelle jääviin osiin piirretään ympyrät(siis 3 kpl). Sitten piirretään jälleen ympyrät kolmiosta edellisten ympyröiden ulkopuolelle, kolmion kärkien puoleisiin osiin, kolme ympyrää. Tätä jatketaan loputtomiin.
Ongelma on se, että saan ympyröiden yhteenlasketuksi alaksi 1,05 kertaa kolmioiden alan, mikä ei liene mahdollista.
Olk. a tasasiv. kolmion sivun pituus
Ensimmäisen ympyrän säde on r1=(sqrt3)/6 a
r2: (sqrt3)/18 a
r3: (sqrt3)/54 a jne.
Säteet siis muodostavat suppenevan geometrisen sarjan, jolle q=(1/3). Sovitaan ensimmäiseksi termiksi r2, koska r1-ympyröitä on vain se 1. ympyrä, muita ympyröitä siis 3 kpl.
Näin ollen ympyröiden ala on:
A= pii*(r1)^2 3*pii*(r2 r3 r4 ... rn)^2
= pii*(r1)^2 3*pii*(r2/(1-1/3))^2
=(7/48)a^2*pii
Ja kolmion alahan on A= (a*(sqrt3)/2)/2
mutta suhde ympyröiden alan suhde kolmion alaan on siis mulla nyt >1 :(
Jos joku viitsisi katsoa niin olisin kiitollinen. Oon kyllä tsekannu noi vaiheet aika monta kertaa joten virheen täytyy olla, surullista kyllä, ajattelussa.
Tasasivuisen kolmion sisään piirretään ympyrä. Seuraavaksi kolmiosta ympyrän ulkopuolelle jääviin osiin piirretään ympyrät(siis 3 kpl). Sitten piirretään jälleen ympyrät kolmiosta edellisten ympyröiden ulkopuolelle, kolmion kärkien puoleisiin osiin, kolme ympyrää. Tätä jatketaan loputtomiin.
Ongelma on se, että saan ympyröiden yhteenlasketuksi alaksi 1,05 kertaa kolmioiden alan, mikä ei liene mahdollista.
Olk. a tasasiv. kolmion sivun pituus
Ensimmäisen ympyrän säde on r1=(sqrt3)/6 a
r2: (sqrt3)/18 a
r3: (sqrt3)/54 a jne.
Säteet siis muodostavat suppenevan geometrisen sarjan, jolle q=(1/3). Sovitaan ensimmäiseksi termiksi r2, koska r1-ympyröitä on vain se 1. ympyrä, muita ympyröitä siis 3 kpl.
Näin ollen ympyröiden ala on:
A= pii*(r1)^2 3*pii*(r2 r3 r4 ... rn)^2
= pii*(r1)^2 3*pii*(r2/(1-1/3))^2
=(7/48)a^2*pii
Ja kolmion alahan on A= (a*(sqrt3)/2)/2
mutta suhde ympyröiden alan suhde kolmion alaan on siis mulla nyt >1 :(
Jos joku viitsisi katsoa niin olisin kiitollinen. Oon kyllä tsekannu noi vaiheet aika monta kertaa joten virheen täytyy olla, surullista kyllä, ajattelussa.
Vastaukset 5
Vanhimmat
olla ongelma tuossa:
A= pii*(r1)^2 3*pii*(r2 r3 r4 ... rn)^2
Ympyrän pinta-ala on kyllä A = 2*pii*r^2.
Kahden ympyrän pinta-alojaen summa on
A = A1 A2 = 2*pii*(r1^2 r2^2), mikä ei ole
sama kuin
2*pii*(r1 r2)^2.
Tyrkkäsin tuonne vahingossa kakkosia kertoimiksi.
Ympyrän pinta-ala on tietenkin
A = pii*r^2, ja kahden ympyrän
A = pii*(r1^2 r2^2).
tätä tuolla samalla tavalla..
r2=(r1)/3
r3=(r2)/3
jne
Kaikkien ympyröiden ala on: pii*r1^2 pii*(r1^2)/3 pii*(r1^2)/27 pii*(r1^2)/
243 …
Sen summa on pii*r1^2 (pii*r1^2/3)/(1-q), ja koska q=1/9, niin ala on
11/8*pii*r1^2, noin 4,3*r1^2
Kolmion ala on sqrt3*a^2/4, ja koska r1=sqrt3*a/6, niin kolmion ala on
3sqrt3*r1^2, noin 5,1*r1^2
Heh korotin siis säteiden summan toiseen, pitäisi ehkä nukkua enemmän. Suhdeluku siis 1/9. Kiitoksia, lasken tästä viisastuneena kun ehdin.
Yksinkertainen tehtävä. Vastaus on (275pii x neliöjuuri 3)/18 siis noin 83%