On 65 kolikkoa joista 64 on normaaleja ja viimeisessä (65. kolikko siis) on molemmilla puolilla kruuna. Valitaan umpimähkään yksi kolikko jota aletaan heittää. Millä todennäköisyydellä valittu kolikko on se jossa on molemmilla puolilla kruuna kun tiedetään että kuudella ensimmäisellä heitolla on tullut kruuna?
Sain vastaukseksi 0,5 joka tuntuu melko isolta...
Ehdollista todennäköisyyttähän tässä kuitenkin tulisi käyttää?
Sain vastaukseksi 0,5 joka tuntuu melko isolta...
Ehdollista todennäköisyyttähän tässä kuitenkin tulisi käyttää?
Vastaukset 20
Vanhimmat
Sanoisin, että kuuden kruunan tn = 1/65 64/65*.5^6
se, että nuo kruunat tulevat juuri tuolta lantilta on sitten
(1/65)/(1/65 64/65*.5^6) = 0.5 (1/2)^6 = 1/64!
Ehdollista, ehdollista sano tuomari.
usko Bayesiin.
vrt. 2 envelopes problem.
Meneekö se näin?
A: Kolikko on kr/kr
B: Kolikko ei ole kr/kr, eli on normaali
P(A) = 1/65
P(B|A) = 1 - 64/65 * 0.5^6 1/65 * 1.0 = 1 tai 65/65
P(B) = 64/65
P(A|B) = 65/65 * 1/65 / 64/65 = 1/64
eli P(B|A):ssa plussat ja minkat toisin päin, eihän tossa muuten olis järkee. Eli kun heitetään enemmän kruunia, niin todennäköisyys B pienenee ja A kasvaa.
Eli näin:
P(B|A) = 1 64/65 * 0.5^6 - 1/65 * 1.0 = 1 tai 65/65
Ei todellakaan mene noin. Nyt lasket todennäköisyyttä että valitaan kolikko, jossa on kaksi kruunaa sillä ehdolla että on valittu normaali kolikko. Tämön todennäköisyys on tietysti nolla koska yhteisiä alkeistapauksia ei ole.
Tarkista siis miten olet nimennyt tapahtuman A ja B.
Laskin itekin tota ja sain myös 0,5. Onko se siis oikein kun jäi vaivaamaan?
(64/65)*(1/2)^6 (64/65)*(1/2)^5, ... (64/65)*(1/2)^1=63/65, ja tämä miinustetaan ykkösestä, eli 2/65
on 0.5
tuon laski.
mutta väärin
kerropa se!
mihin asti olet itse päässyt ja mihin olet jääny jumiin.
tasolla sen mitä tuossa haetaan ja miksi, mutta en osaa nimetä tapahtumia ja sitä kautta kaavan yksittäisten todennäköisyyksien laskeminen on mahdotonta. Voisi siis sanoa, että ongelma on tekninen, enkä osaa käyttää sitä kaavaa.
Olen kuitenkin melko varma, että P(A) on 1/65, koska sehän on priori. En osaa nimetä tapahtumaa B ja sitä kautta P(B):tä. Tiedän kuitenkin, että se on normalisointia varten nimittäjässä, eli että homma saadaan skaalattua oikein. Tiedän myös, että P(B|A) on B:n tn., kun A on annettu, eli se on ehdollinen tn. Luonnollisesti en osaa nimetä tätäkään tapahtumaa. Arvioisin, että tn. P(A|B) on hemmetin paljon isompi kuin priori 1/65, koska kuusi kruunaa peräkkäin normaalista kolikosta on melko epätodennäköinen tapahtuma, eli 1/64. Se siis lisää lopullisen vastauksen suuruutta huomattavasti.
Että jos voisit nimetä vielä nuo kaksi todennäköisyyttä sanallisesti, olettaen että P(A) on oikein nimetty, niin saisin varmaankin itse laskettua loput.
P(A) = 'todennäköisyys että summassa nostettu kolikko on kruuna/kruuna kolikko'
P(B) = '?'
P(B|A) = '?'
aavistuksen alle 50%
jos heität umpimähkäistä kolikkoo, on todari 6 kolikolle 1/64
Todari , että on tav.kolikko on 64/65 .eli siis hieman alle 1.
Menee binomikertoimella lasken huomenna kun selviän kaljoista jos jaksan.
Tasan 50% se sittenkin on .Nyt kun uudestaan laskin.
Ei tuossa mitään binomikertoimia tarvita.
efgh jo laski.
Käytät vaikka ehdollisen todennäköisyyden kaavaa:
A = valitaan yksipuolinen kolikko
B = valitaan kaksipuoleinen kolikko
C = heitetään kuuden sarja, missä kaikki kruunuja.
A^C = valitaan yksipuolinen kolikko & heitetään kuuden sarja, missä kaikki kruunuja.
B^C = valitaan kaksipuolinen kolikko & heitetään kuuden sarja, missä kaikki kruunuja.
P(A) = 1/65
P(B) = 64/65
P(A^C)= 1/65*1*1*1*1*1*1 =1/65
P(B^C)= (64/65)*½^6 = 1/65
Riippumattomat tapaukset:
P(C) = P(A^C U B^C)=P(A^C) P(B^C)= 1/65 1/65 = 2*(1/65)
Ehdollinen todennäköisyys:
P(A|C) = P(A^C)/P(C) = (1/65)/(2*(1/65)) =1/2
Joko jenskin ymmärtää?
Bayestodennäköisyys:
p(heitetään kuusi kruunua|on valittu yksipuolinen raha)
P(C|A) = 1
P(A|C) = P(C|A)*P(A) / P(C)
= 1*1/65 /(2*(1/65))
= 1/2.
Kolmaalta tuo pistevieras ositus A^C,B^C antaa luvan kirjoittaa suoraan:
P(A^C)/(P(A^C) P(B^C)), joka sekin on noin 1/2.
kannattaa kirjoittaa selvä ratkaisu, jos aikoo ratkaisun esittää. Aluksi hämäsi A^C, sen voi ymmärtää A:n komplementiksi. Nyt kyseessä oli leikkaus C:n kanssa.
vaan pähkäilemällä. Ajatellaan ensin, että on 65 samanlaista kolikkoa ja otetaan niistä 64.
Nyt kun aloitetaan rahanheitto ja mahdollisuudet ovat tasan, niin teoriassa joka heitolla aina puolet kolikoista klaavoina poistuu ja kuuden heiton jälkeen on jäljellä yksi kruunu .
Nyt tulee tieto, että yksi niistä 65:stä kolikosta onkin ollut kakskruuna.
Sen jäljelle jääneen on pakko olla jompikumpi,joko normaali tai kakskruuna , kumpanakin se olisi jäljelle jäänyt, joten kakskruunan todennäköisyys on 1:2.
Otetaan 64 rahaa,(eli 1 pois todennäköisyydellä 1/65).
6 heittoa, jäljelle jää 1 raha, sen p=1/64.
Tuossa on kuitenkin kakskruunalle liikaa p:tä,koska
kaksruuna voi olla myös se poisotettu, sen
p=(1/64)*(1/65)
Kakskruunan kokonais p=näiden erotus=
(1/64)-(1/65*1/64)=1/65
Sama todennäköisyys, kuin sillä, että se olisi ollut eka poisotettu, eli tehtävässä kysytty p=50%
(Tehtävä on itseasiassa sama kuin toosastakin tullut laukunarvaamiskisa, ja niinkuin muistetaan siinäkin lopussa oli tasamahdollisuudet)