Pitkän matematiikan ylioppilaskirjoitukset painavat päälle. Lukioissa on jälleen pitkään tehty työtä niihin valmistauduttaessa.
Kouluissa on kuitenkin paljon opettajia, jotka juuri ja juuri hallitsevat lukion pitkän matematiikan oppimäärän.
Heille kirjoituksiin valmistautuminen tietää tuskallista ja paniikinomaista prosessia. Tämä tuskaisuus ja paniikinomaisuus tarttuu helposti myös oppilaisiin.
Omasta mielestäni on valitettavaa, että sama tason vaihtelu näkyy varsin usein myös julkaistuissa yo-kirjoitustehtävien ratkaisukokoelmissa. Näiden, jos minkä pitäisi olla asiantuntijoiden kirjoittamia. Esitetyt ratkaisut ovat kuitenkin varsin usein kaikkea muuta kuin niitä yksinkertaisimpia, helpoimpia, matemaattisesti täsmällisimpiä ja eleganteimpia.
Otanpa sattumanvaraisen esimerkin käsilläni olevasta opuksesta Metsänkylä, Pursiheimo: Matematiikan tehtävät ylioppilastutkinnoissa 1982-92, 7. painos, Otava, 1992.
Kevät 1982 tehtävä 9 b):
Määritä käyttämättä likiarvoja funktion
f : f(x) = 8 cos x 15 sin x - 17
suurin ja pienin arvo välillä [0,2*pii].
Ensi vilkaisulla tehtävä näyttää hiukan hankalalta lukion matematiikan yleisen tason huomioonottaen.
Tehtäväkirjan esimerkkiratkaisussakin on lähdetty "vääntämään häkkyrää" mielestäni turhan monimutkaisella tavalla.
Tätä ratkaisua en tässä käy toistamaan. Oma ratkaisuni on seuraava:
Ratkaisu:
Annettu funktio on koko reaalilukualueessa rajoitettu, jatkuva ja jatkuvasti derivoituva.
Jaksollisena se voi saada ääriarvonsa vain derivaatan nollakohdissa
(ei siis raja-arvoina äärettömyyksissä).
Asettamalla derivaatta nollaksi saadaan yhtälö
-8*sin(x) 15*cos(x) = 0,
josta edelleen
sin(x) = (15/8)*cos(x).
Sijoittamalla tämän yleiseen muunnoskaavaan
(sin(x))^2 (cos(x))^2 = 1
Saamme
(cos(x)^2 = 64/289.
Tämän ratkaisut ovat
cos(x) = -8/17 ja cos(x) = 8/17.
Yhtälöstä sin(x) = (15/8)*cos(x) saamme näitä vastaaviksi sini-funktion arvoiksi
sin(x) = -15/17 ja sin(x) = 15/17.
Sijoittamalla funktion f määritelmään saadaan vastaavat ääriarvot
f(x) = 8*(-8/17) 15*(-15/17) -17 = -34 (minimi)
ja
f(x) = 8*(8/17) 15*(15/17) -17 = 0 (maksimi)
Tämän tyyppisten tehtävien ratkaisemisessa lähdetään helposti liikkeelle liian monimutkaisella tavalla. Ensimmäiseksi mieleen tuleva ratkaisutapa on se, että ensiksi pyritään ratkaisemaan derivaatan nollakohdat ja tämän jälkeen laskemaan funktion arvo näissä nollakohdissa. Tällä tavalla ratkaiseminen menee kuitenkin turhan vaikeaksi. Tehtävän ratkaiseminen helpottuu huomattavasti, kun havaitaan, että näitä nollakohtia ei tehtävässä edes kysytä. Funktion arvon laskemiseksi tarvitaan vain sini- ja kosinifunktioiden arvot näissä nollakohdissa. Ne saadaan helposti laskettua edellä esitetyllä tavalla. Ja kun niiden arvot tiedetään, on ääriarvojen laskeminen helposti suoritettavissa.
Yleisemmin hankalta näyttävää tehtävää ratkaistaessa kannattaa lähteä liikkeelle esim. seuraavalla tavalla:
1) lue tarkkaan, mitä tehtävässä oikeasti kysytään
2) huomioi (tee itsellesi selväksi) myös se, mitä siinä ei kysytä
3) selvitä itsellesi se, mitä tehtävän ratkaisemiseen tarvitaan (osaongelmat)
4) ratkaise osaongelmat
5) ratkaise itse tehtävä
Yo-kirjoitustehtävien ratkaisemiseen riittää usein jonkin muuttujan implisiittimuoto (ratkaisematon muoto). Esimerkiksi tuntemattoman muuttujan polynomiyhtälöä ei aina kannata lähteä ratkaisemaan ko. muuttujan suhteen. Yhtälöä voidaan usein hyödyntää sellaisenaan ratkaisemattomassa muodossa.
Tällä tavalla laadittu ongelman ratkaisu vaikuttaa usein jälkikäteen tarkasteltuna jonkinlaiselta kikkailulta. Siitä voi saada vaikutelman, että ko. ratkaisua voidaan soveltaa vain käsillä olevaan yksittäiseen ongelmaan. Kysymys on kuitenkin yleisestä ongelmanratkaisuprosessista. Opettajan tulisikin tällaisia tehtävien ratkaisuja esittäessään kiinnittää oppilaiden huomiota nimenomaan tähän näkökulmaan.
Huomattakoon vielä, että edellä olevassa luettelossa kohta 2) on usein kaikkein vaikein. Kysymys on yleisistä ongelmanratkaisutaidoista. Vaikeidenkin ongelmien ratkaisua helpottaa usein se, karsitaan ongelman ympäriltä kaikki epäoleellinen. Tällainen pelkistävä ajattelu on ollut tyypillistä ihmiskunnan suurimmille neroille. Tunnetuin esimerkki lienee Albert Einstein, joka mm. suhteellisuusteoriaa luodessaan ja valosähköistä ilmiötä selittäessään kykeni karsimaan kokeellisista tuloksista kaikki itsestään selvinä pidetyt 'implisiittioletukset'.
Tsemppiä kaikille Suomen abeille matematiikan ylioppilaskirjoituksiin.
Matti K. Sinisalo, FL
http://www.geocities.com/mattiksinisalo/fin.html
Yo-kirjoitukset 2009
25
6168
Vastaukset
- abituri entti
Onko tietoa millaisissa pisterajoissa liikuttiin 70/80-luvulla esim. L:n suhteen (toki silloinen L oli nykyinen L ja E). Olen hieman valmistautunut yo-kokeeseen ja havainnut että lähes poikkeuksetta tehtävät ovat olleet vaativampia kuin nykyiset tehtävät ja valinnan varaakin oli vähemmän. Ilmeisesti sai olla kokonaisia tehtäviä väärin ja silti sai L:n. En nimittäin suostu uskomaan että tuolloiset abit olivat matemaattisesti lahjakkaampiakaan kuin me nykyiset.
- en osaa nyt suoralta
kädeltä sanoa, mutta tehtävät ovat nykyään helpompia, koska nykyään kirjoittajia on paljon enemmän. Miten määrä on saatu kasvatettua? No, tasoa on laskettu, että saadaan lisää kirjoittajia. Siis vanhemmat kirjoittajat eivät ole sinällään olleet parempia, mutta heidän aikanaan ei ole ollut näitä heikkoja oppilaita mukana...
- yo-71
Nykyisin tehtävät ovat helpompia kuin ennen. Pitkän matematiikan oppimäärä on nyt tungettu täyteen kaikkea mahdollista mikä vaan voi olla matematiikkaa. 1970-luvun oppimäärä oli suppeampi. Silloin ei ollut mm. vektorilaskentaa eikä myöskään tn-laskentaa, ei talousmatematiikkaa jne. Silloin ei ollut myöskään laskimia vaan laskutikku ja logaritmitaulukot. Geometria ja trigonometria olivat niin laajoja, että ainakaan approssa yliopistossa ei tullut mitään uutta. Ilmeiseti silloisten tehtävien "vaikeusaste" johtuu vaan siitä, että silloin laskettiin paljon juuri sen tyyppisiä tehtäviä. Olen itse opettanut 25 vuotta lukiossa matematiikkaa sekä pitkää että lyhyttä ja olen havainnut, että erityisesti geometrian hallinta on heikkoa nykyisin eikä kolmiulotteisen avaruuden ääriarvoprobleemat tahdo onnistua mitenkään. Laskurutiinin puute on suurin heikkous nykylukiossa. Asiat opitaan, mutta niitä ei hallita eikä osata soveltaa.
Kaikkea ei voi saada, on joko tigittävä laadusta tai määrästä.
- algebrikko
" Ensimmäiseksi mieleen tuleva ratkaisutapa on se, että ensiksi pyritään ratkaisemaan derivaatan nollakohdat ja tämän jälkeen laskemaan funktion arvo näissä nollakohdissa. Tällä tavalla ratkaiseminen menee kuitenkin turhan vaikeaksi. Tehtävän ratkaiseminen helpottuu huomattavasti, kun havaitaan, että näitä nollakohtia ei tehtävässä edes kysytä."
Totta. Mutta jos lukion oppimäärään ei kuulu antamasi menetelmä, niin se on perusteltava ennen käyttöönottoa. Muuten tulee pistemenetyksiä. Eräällä opiskelutoverillani otettiin kaksi pistettä siitä, kun hän vetosi kahden positiivsen luvun aritmeettis-geometriseen epäyhtälöön. Itsellä meni kaksi pistettä siitä, kun perustelin erään epäyhtälön symmetriaan nojaten enkä sijoittanut derivaatan nollakohtia alkuperäiseen lausekkeeseen. Todella ärsyttävää, kun matemaattisesti täysin oikeasta ratkaisusta sakotetaan!- saman huomannut
Ottamatta kantaa siihen mitä ja miten olette ratkaisseet tehtäviä olen itse törmännyt mainitsemaasi "väärin sammutettu"-kuvioon. Iän karttuessa olen ruennut ymmärtämään minkä takia siihen törmää varsin usein ja samalla miksi se sieppaa niin helvetin syvältä.
Oppilaitosten ajatus ei ole opettaa asiaa, vaan saada oppilaat ottamaan ajatuksia vastaan. Tämä tarkoittaa, että oppilaan on opittava asia niin kuin se opetetaan. Yleisesti ottaen sen soveltaminen on pahasta ja sitä saa käyttää kokeissa vain ja ainoastaan siinä muodossa kuin se on tarjoiltu. Kaikenlainen aktiivisuus ja lisäoppiminen on pahasta, koska se vaatisi opettajalta aika paljon. On kuitenkin fakta, että iso osa opettajista, kuten edelläkin mainittiin, painii osaamisensa kanssa äärirajoilla. Jos hän joutuisi soveltamaan jotain opetettavaa asiaa tai perehtymään johonkin muuhun ratkaisutapaan juontuisi siitä hänelle työtä ja mahdollisesti arvovaltatappio.
Siis koululaitoksessa on toimittava koululaitoksen ehdoilla ja piilotettava oma syvällisempi tai luovempi ajattelunsa. Minulla oli ilo saada lukiossa erittäin hyvää matematiikan ja fysiikan opetusta, mutta olen valitettavasti yliopistossa törmännyt mainitsemiini toimintamalleihin professorienkin osalta. Se on rasittavaa, mutta toisaalta raadollisesti ajatellen inhimillistä.
Jos sinulle on luotu näkemystä ajatella asioita yli rajojen, kykyä soveltaa oppimaasi tai taipumusta tajuta asioita hyvin syvällisesti, niin olet aika yksin tässä maailmassa. Sellaisia lahjoja ei yksinkertaisesti arvosteta keskiarvoistavassa maailmassa. Sama koskee tunnettujen totuuksien kyseenalaistamista.
- matikankikantti
käydä suurempaan vastaväittelyyn (huolimatta omasta nimimerkistä... tuli rimakauhu :))
Ei löytynyt äkkipäätään kirjaratkaisua noin vanhaan tehtävään, mutta havaitsinpa seuraavaa:
Kun tuossa on ratkaistu minimi ja maksimi, niin kokelaalla tulee luontaisesti mieleen testata, osuvatko saadut ääriarvot x-akselilla tehtävässä annetulle välille. Hän ottaa laskimeen sin(x)=15/17 ja saa arvoksi karkeasti 62 astetta. Kokeilee tällä alkup. funtioon ja tulee 0 (se maksimi). Sitten ottaa laskimeen sin(x)=-15/17 ja saa karkeasti -62 eli jakson verran siirtymällä 298 astetta, jotta on välillä 0->2*pii. Kokeilee myös tällä alkup.funktioon, mutta ei tulekaan 0 eikä -34. Voi hämmennyksen paikka!!
Tarkistaa vielä cos(x)=-8/17. Tulee noin 118 astetta. Yrittää alkup.funktioon, mutta ei tästäkään tule 0 eikä -34. Missä on minimi?? Kokeilemalla vielä viimeisellä vaihtoehdolla cos(x)=8/17, pääsee kerran löydettyyn maksiminollaan. Minimin kohta pitäis löytyä, jotta nähtäis, osuuko se tehtävässä sallittuun väliin. (Pitää ne reunapisteetkin tarkistaa, mutta niissä ei ole ääriarvoja tässä).
Ja miten on ylipäätään mahdollista, että derivaatan nollakohdat sijoittamalla funktioon, ei päästäkään noihin jo (muka) löydettyihin ääriarvoihin.
Tietty, osin tässä liikutaan alueella, mitä ei kysytty, mutta jos vastaava tilanne sattuu kirjoituksissa, niin aikaa tuhraantuu. Joku abi voisi laskuharjoituksenaan tutkailla, mikä ja miksi tässä kiikastaa :) Tokihan sen minimin kohdan päältä näkee, jos graafiseen laskimeen syöttää, mutta onko ne sallittuja tätä nykyä kirjoituksissa, en ole tullut kysyneeksi.
Ps. tähän pitänee palata vielä, kunhan näkee sen "häkkyräratkaisun" jostakin.. - erkkiesimerkkilaskija
YO syksy 75 teht. 10 pitkä:
Säännöllisen 7-kulmion sivu on s ja erisuuret lävistäjät d_1 ja d_2. Osoita, että 1/d_1 1/d_2=1/s.
Kirjassa Matemaattiset tehtävät, Metsänkylä & Metsänkylä on annettu kaksi trigonometriaan perustuvaa pyörittelyä. Kuitenkin ositteessa
http://www.artofproblemsolving.com/Wiki/index.php/Ptolemy's_Theorem
on hieman helpompi tapa todistaa väite.- tuo sitten
niin helppo, tuo jännenelikulmion lause, kun ei löydy maolista, eikä sen johto mikään hirveän helppo ole.
- abituri entti
Pari täydellistä oikosulkua tuli ja helpohko koe
->Ällä jäänee taas tyypillisesti pisteen päähän...
No, eihän sillä loppujen lopuksi ole paljoa väliä, onko L vai E, kun aika harvaan paikkaan sitä L:ää vaaditaan. Mutta silti.. - ex-lukiolainen
Pitkän tehtävä 2c. Minkä funktion integraalifunktio on 1/2 cos(2x)?
Ratkaisu. Funktion f:R->R, f(a)=a/2 cos (2x) å, missä a ja å reaalilukuja, sillä
d/da (a/2 cos (2x) å)=1/2 cos (2x).- jens
koska oikea vastaus on D(1/2 cos(2x)) = -sin(2x)
- Matti Lehtinen
8 cos x 15 sin x - 17 = 17((8/17)cos x (15/17) sinx - 17 = 17 sin(x y) - 17; y:stä ei tarvitse välittää (se voi olla esimerkiksi arcsin(8/17)), koska sinifunktion arvot ovat välillä [-1, 1], lausekkeen arvot ovat välillä [-34, 0]. Derivaattaa ei tarvita ollenkaan.
Matti Lehtinen hyvä, tuollainen ihan riittää vastaukseksi.
Pitäisi ainakin osoittaa, että
(8/17)^2 (15/17)^2=1,
jolloin yhtälöparilla
sin(y)=8/17 ja cos(y)=15/17
on ratkaisu.- Matti Lehtinen
MattiKSinisalo kirjoitti:
Matti Lehtinen hyvä, tuollainen ihan riittää vastaukseksi.
Pitäisi ainakin osoittaa, että
(8/17)^2 (15/17)^2=1,
jolloin yhtälöparilla
sin(y)=8/17 ja cos(y)=15/17
on ratkaisu.Eihän sitä kerrointa 17 tietenkään hihasta repäisty vaan siitä että 64 225 = 289; esitin vain normaalin kahden samataajuisen siniaallon yhdistämislaskun. Pointtini oli, että monesti kannattaa hetki ajatella optimointitehtävissäkin ennen kuin syöksyy derivoimaan.
- Salopeura
tuo on, mutta jos se olisi esitetty ainoana ratkaisutapana esim. yo-tehtäväkirjassa, niin ei ehkä olisi puoltanut paikkaansa. Mielestäni tehtävien perusvastausten pitäisi olla sellaisia joihin keskimääräisellä oppilaallakin on mahdollisuus. Hienoa tietysti olisi jos siellä esitettäisiin vaihtoehtoisiakin ratkaisutapoja, mutta se toisi runsasti lisää sivuja ja on kustannuskysymys.
Valitettavasti monet trigonometristen funktioiden kaavat jäävät useimmilta lukiolaisilta vähälle käytölle. Harvalle niistä tulee aivan rutiinia. Trigonometriaa on aika vähän kursseissa ja se vaatisi syvempää perehtymistä ajan kanssa, siitä huolimatta että kaavat löytyvät tietysti taulukkokirjasta.
Kovasti minua huvittaa tuo käsitys, että lukion opettajat muka toimisivat matemaattisten kykyjensä ylärajoilla opettaessaan ylioppilaskokelaita. Tuota en kyllä olekaan huomannut, vaikka tunnen paljon lukion matematiikan opettajia ja itsekin olen selainen, vaikka olenkin jo eläkkeellä. No yliopistomiesten ylemmyydentunto sallittakoon. Ei pidä kuitenkaan olettaa että se mitä yliopistoon tulevat ylioppilaat osaavat on kaikki mitä heidän opettajansa ovat osanneet heille opettaa. Lukiolainen opiskelee enimmäkseen muita aineita lukiovuosinaan, eikä matematiikka vlitettavasti useinkaan ole korkealla preferensseissä.
Tietysti siinä, että mitä opettamisesta yleensä ajatellaan on paljonkin eroja. Joillakin opettajilla on pinttynyt epäluulo oppilaiden kykyjä kohtaan ja yrittävät opettaa melkein pelkästään mekaanisiin suorituksiin jotkut taas ihan hienosti korostavat oppilaiden omaa itsenäistä ajattelua ja kannustavat keksimään luovia ratkaisuja. Useimmat pyristelevät sitten siinä välissä. - Tarkka matemaatikko
" 17((8/17)cos x (15/17) sinx - 17 = 17 sin(x y) - 17; y:stä ei tarvitse välittää (se voi olla esimerkiksi arcsin(8/17))"
Tuossa on otettu y käyttöön ennen kuin sitä on määritelty. Oikeammin olisi kirjoittaa.
Olkoon y=arcsin(8/17):n pääjakso. Tällöin 17((8/17)cos x (15/17) sinx - 17 = 17 sin(x y) - 17.
Oli muuten kamalaa lukea malliratkaisuja HS:n sivuilta. Ainakin seitsemässä kohdassa ratkaisu on aloitettu matemaattisella symbolilla, mitä ei pidä koskaan tehdä matematiikkaa kirjoittaessa. Tehtävän 4 ratkaisussa käytetään rakennetta "jos ..., on " vaikka minulle opetettiin, että implikaatiot kirjoitetaan suomessa "jos ..., niin". - kouluja katsellut
Salopeura kirjoitti:
tuo on, mutta jos se olisi esitetty ainoana ratkaisutapana esim. yo-tehtäväkirjassa, niin ei ehkä olisi puoltanut paikkaansa. Mielestäni tehtävien perusvastausten pitäisi olla sellaisia joihin keskimääräisellä oppilaallakin on mahdollisuus. Hienoa tietysti olisi jos siellä esitettäisiin vaihtoehtoisiakin ratkaisutapoja, mutta se toisi runsasti lisää sivuja ja on kustannuskysymys.
Valitettavasti monet trigonometristen funktioiden kaavat jäävät useimmilta lukiolaisilta vähälle käytölle. Harvalle niistä tulee aivan rutiinia. Trigonometriaa on aika vähän kursseissa ja se vaatisi syvempää perehtymistä ajan kanssa, siitä huolimatta että kaavat löytyvät tietysti taulukkokirjasta.
Kovasti minua huvittaa tuo käsitys, että lukion opettajat muka toimisivat matemaattisten kykyjensä ylärajoilla opettaessaan ylioppilaskokelaita. Tuota en kyllä olekaan huomannut, vaikka tunnen paljon lukion matematiikan opettajia ja itsekin olen selainen, vaikka olenkin jo eläkkeellä. No yliopistomiesten ylemmyydentunto sallittakoon. Ei pidä kuitenkaan olettaa että se mitä yliopistoon tulevat ylioppilaat osaavat on kaikki mitä heidän opettajansa ovat osanneet heille opettaa. Lukiolainen opiskelee enimmäkseen muita aineita lukiovuosinaan, eikä matematiikka vlitettavasti useinkaan ole korkealla preferensseissä.
Tietysti siinä, että mitä opettamisesta yleensä ajatellaan on paljonkin eroja. Joillakin opettajilla on pinttynyt epäluulo oppilaiden kykyjä kohtaan ja yrittävät opettaa melkein pelkästään mekaanisiin suorituksiin jotkut taas ihan hienosti korostavat oppilaiden omaa itsenäistä ajattelua ja kannustavat keksimään luovia ratkaisuja. Useimmat pyristelevät sitten siinä välissä.Luulen että opetat jollain isommalla paikkakunnalla. Oman käsitykseni mukaan yliopistopaikkakunnilta löytyy tasokasta lukio-opetusta, mutta mitä sivummalle mennään sitä huonommaksi taso käy (toki yleistäen).
Esim. omalla koulullani oli aivan onneton yleisen opettaja. Jouduin joskus kuuntelemaan hänen opetustaan ja aivan alkeellisiinkaan kysymyksiin ei saanut selkeää vastausta. Sama tilanne oli yläasteella. Pitkän linjan opettaja puolestaan oli taivaanlahja kiinnostuneella ja osasi asiat mitä opetti (ja, mikä parasta, otti selvää jos ei heti osannut vastata). Tosin hän on kirjoittanut oppikirjoja ja toimii muutenkin aktiivisena matematiikan opetuksen tason nostajana.
Sinun osaamistasi en tiedä, mutta tekstistäsi saa kuvan että olet saanut ilon työskennellä osaavien kanssa, oletat kolleegojen taidoista enemmän kuin mitä ne oikeasti ovat (mihin oikeasti perustat näkemyksesi?) tai sitten olet itse keskinkertainen tietotaidoiltasi etkä näe eroja.
Oli niin tai näin, voidaan varmaankin kuitenkin lähteä siitä että nämä opettajatkin ovat koulusta osaamisensa ammentaneet ja opettajat varmaan tietävät miten opetettava materiaali on aika heterogeenistä. On turha luulo että vain aineessa lahjakkaat hakeutuvat aineenopettajiksi.
- kirjoitukset
Tein pitkän matikan ylioppilaskirjoitukset joskus 90-luvun keskellä, ja täytyy sanoa että kyllä näyttävät tehtävät helpommilta nykyään kuin ennen! Harjoittelin myös 80-luvun tehtävillä omaan kokeeseeni, ja nekin vaikuttivat jonkin verran haastavimmilta kuin 90-luvun tehtävät. Lisäksi nykyään on näköjään todella paljon valinnanvaraa mitä tehtäviä saa jättää pois.
Lyhyen matematiikan tehtävät taas näyttivät suurilta osin lapsellisilta (en viitsinyt niitä tosin kauan katsella), ja minun mielestä meidän matematiikankokeet ylä-asteella olivat haastavampia, vielä luvun alussakin. Ei ollut helppoa saada hyvä arvosana yläasteessa matematiikassa.- ABIIIII
Tein pari tosi tyhmää kämmii ihan perustehtävissä....Paljonkohan L raja on? Koe oli paria edellisvuotta selvästi vaikeempi.
- googleen...
ABIIIII kirjoitti:
Tein pari tosi tyhmää kämmii ihan perustehtävissä....Paljonkohan L raja on? Koe oli paria edellisvuotta selvästi vaikeempi.
"ylioppilastutkinto pisterajat" niin näet muutamilta vuosilta; L:n raja on pyörinyt 56 pisteen paikkeilla keskimäärin.
- ABIIII
googleen... kirjoitti:
"ylioppilastutkinto pisterajat" niin näet muutamilta vuosilta; L:n raja on pyörinyt 56 pisteen paikkeilla keskimäärin.
Voisikohan L raja olla jotai 54:D?
- koska...
ABIIII kirjoitti:
Voisikohan L raja olla jotai 54:D?
viime vuonna L:n raja oli 59 pistettä, eikä koe ollut kovin paljoo vaikeampi nytkään.
- abi09
koska... kirjoitti:
viime vuonna L:n raja oli 59 pistettä, eikä koe ollut kovin paljoo vaikeampi nytkään.
Veikkaisin L rajaksi 54-56p
- abi10
eikö toinen vaihtoehto laskea olisi tämä:
derivaattafunktion nollakohtayhtälöstä saadaan
tanx=15/8
piirretään suorakulmainen kolmio, jonka kateettien itseisarvot ovat 15 ja 8, jolloin hypotenuusa on neliöjuuri 15^2 8^2 ja siitä tulee 17. eli hypotenuusa on 17. ( |17| )
nyt määritetään sinx ja cosx.
kulma on välillä [0,2pii] joten kosinin ja sinin arvot voivat olla joko positiivisia tai negatiivisia.
eli sinx=( -)15/17 ja cosx=( -)8/17
ja nyt päätellään. koska lauseke on 8cosx 15sinx -17 , funktio saa suurimman arvonsa, kun cosx ja sinx ovat positiivisia [ eli sinx=15/17 ja cosx=8/17], vastaavasti pienimmän arvonsa, kun cosx ja sinx ovat negatiivisia [ eli sinx=-15/17 ja cosx=-8/17].
ja sitten vain sijoitetaan nuo arvot funktioon ja saadaan kysytyt arvot
olisiko tämäkin ollut sallittu keino yo-kirjotuksissa, kunhan vain muistaa perustella kunnolla?- Tippainsenjööri
Tuohan on nerokasta!
Minulle on mysteeri, miksi oikeaan ratkaisuun päätyvää tulosta tai sen ratkaisua ylipäätään pitäisi perustella, jos sen on hyväksytyin matemaattisin keinoin (ei siis arvaamalla tai vahingossa) saatu. Pitääkö kirjoittajan opettaa ehkä sensoreita, kun eivät muuten oivalla, että ratkaisun voi saada muullakin kuin tehtävänlaatijan ajattettemalla tavalla?
Jostain luin, että esim. L'Hospitalia (pankaa itse o:n circumfleksi)) ei saa yo-kirjoituksissa käyttää. Miksiköhän?
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Räppäri kuoli vankilassa
Ei kuulemma ole tapahtunut rikosta. Sama vahinkohan kävi Epsteinille. https://www.hs.fi/suomi/art-2000011840869.html "944263Välillä kyllä tuntuu, että jaat vihjeitä
Mutta miten niistä voi olla ollenkaan varma? Ja minä saan niistä kimmokkeen luulemaan yhtä sun toista. Eli mitä ajatella293233No kyllä te luuserit voitte tehdä mitä vaan keskenänne, sitä en ymmärrä miksi pelaat,nainen
Pisteesi silmissäni, edes ystävätasolla tippui jo tuhannella, kun sain selville pelailusi, olet toisen kanssa, vaikka ol452350- 351358
- 10949
- 141948
- 6904
Masan touhut etenee
Punatiilitalon tietotoimiston mukaan Masa on saanut viimein myytyä kämppänsä ja kaavoittaa uudelle lukaalille tonttia pa12842Naisten ja miesten tasoeroista
Oletteko huomanneet, että naisissa ylemmän tason naiset ovat sinkkuja, ja miehissä alemman tason incelit? Toimivat paris124786- 11780