Jumiuduin seuraavaan yhtälöön enkä meinaa keksiä ratkaisua, siis miten on voiko seuraavan yhtälön ratkaista muotoon x=... tai voiko yhtälöstä jollakin tapaa päätellä onko se tosi joillakin muuttujien x,y ja vakioiden a,b,c arvoilla kun a < c?
a*x SQRT(c*c*x*x - b*b) = SQRT(c*c*y*y - b*b) - a*y
eli ax SQRT(ccxx - bb) = SQRT(ccyy - bb) - ay
Voiko tämän yhtälön ratkaista?
Ruosteessa
11809
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 11
Vanhimmat
eräs ratkaisu siitä, jos ax=sqrt(ccyy-bb) ja -ay=sqrt(ccxx-bb)
kiitos ideasta, mutta idea ei vaikuttaisi toimivan ehdolla a < c ... toimii ilmeistikin kyllä jos a = c. Miten muutoin voisi asiaa ratkaista?
korjataan sen verran vielä että esitetty idea vaikuttaisi toimivan jos a = -c (ei siis jos a=c), josta valitettavasti seuraa se että alkuperäisessä tehtävä asettelussa unohtui kertoa lisäehto että a,b,c >= 0. Sorry ... vieläkö ideoita riittäisi?
No niin ... moka tuli tehtävän asetteluun kun ehto a,b,c >= 0 unohtui, joten tässä uusi yritys ... Jumiuduin siis seuraavaan yhtälöön enkä meinaa keksiä ratkaisua, miten on voiko seuraavan yhtälön ratkaista muotoon x=... tai voiko yhtälöstä jollakin tapaa päätellä onko se tosi joillakin muuttujien x,y JA vakioiden a,b,c arvoilla kun a < c siten että a,b,c >= 0? a*x SQRT(c*c*x*x - b*b) = SQRT(c*c*y*y - b*b) - a*y eli ax SQRT(ccxx - bb) = SQRT(ccyy - bb) - ay
... voihan nenä ... tulipa oikein tupla moka tehtävän asetteluun eli "tietenkin" myös x,y > 0 ... siis oikeaan tehtävä asetteluun kuuluu a,b,c,x,y > 0 (tosi ruosteessa ollaan) ja yhtälö on ax SQRT(ccxx - bb) = SQRT(ccyy - bb) - ay Eiköhän tässä ole nyt kuitenkin jo lopulta kaikki, joten voiko perustella löytyykö ratkaisua vai ei?
Sijoitus x=-y.
oli alkuperäiseen kysymykseen.
Sorry, että alkuperäisestä tehtävän asettelusta unohtui vaatimus a,b,c,x,y>0. Lisäksihän siellä oli mukana vielä ehto a
ax SQRT(c^2x^2 - b^2) = SQRT(c^2y^2 - b^2) - ay
a(x y) = SQRT(c^2y^2 - b^2) - SQRT(c^2x^2 - b^2)
Koska x, y > 0, x y>0
Siten SQRT(c^2y^2 - b^2) - SQRT(c^2x^2 - b^2) > 0
-> (c^2y^2 - b^2) - (c^2x^2 - b^2) > 0
-> y > x
Tää ei nyt mitään vielä todista, mutta satuin löytämään yhden ratkaisun:
x = 1
y = 2
b = c = 1
a = 1/SQRT(3)
x=(2a*sqrt((cy-b)(cy b))-ya^2-yc^2)/(a^2-c^2).
Kaksi neliöönkorotusta:
sqrt(c²x²-b²)=sqrt(c²y²-b²)-a(x y) | korota molemmat puolet neliöön
c²x²-b² = c²y²-b² a²(x y)² -2a(x y)sqrt(c²y²-b²) | neliöjuuri yksin toiselle puolelle
2a(x y)sqrt(c²y²-b²)=c²(y²-x²) a²(y x)² | jaetaan (x y):llä
2a*sqrt(c²y²-b²) = c²(y-x) a²(y x) = y(c² a²) x(a²-c²) | korotetaan neliöön
4a²c²y²-4a²b² = y²(c² a²)² x²(a²-c²)² 2xy(a^4-c^4) | sievennys
x²(a²-c²)² y²(a²-c²)² 2xy(a^4-c^4) 4a²b² = 0
Tämä on toista astetta x:n (tai y:n suhteen), joten ratkeaa 2. asteen yhtälön ratkaisukaavalla. Kaikki alkuperäisen yhtälön ratkaisut toteuttavat tämän yhtälön, mutta käänteinen ei välttämättä päde neliöönkorotusten takia! Eli jokainen ratkaisu tulee vielä tarkistaa alkuperäisellä yhtälöllä.