minulla on laskuvaikeuksia tämän tehtävän kanssa:
ruutukuvioisen pöytäliinan kuviot ovat neliöitä, joiden sivujen pituus on 5,0cm. pöydälle heitetään kolikko, jonka halkaisija on 1,8cm. millä todennäköisyydellä kolikko pöydälle pudottuaan koskettaa tasan kolmea neliötä?
kuvaa olen koittanut piirtää, mutta ei oikein selkene tämä :S
Kiitän jo tässä vaiheessa tämän tehtävät ratkaisevaa neroa!
ruutukuvioisen pöytäliinan kuviot ovat neliöitä, joiden sivujen pituus on 5,0cm. pöydälle heitetään kolikko, jonka halkaisija on 1,8cm. millä todennäköisyydellä kolikko pöydälle pudottuaan koskettaa tasan kolmea neliötä?
kuvaa olen koittanut piirtää, mutta ei oikein selkene tämä :S
Kiitän jo tässä vaiheessa tämän tehtävät ratkaisevaa neroa!
Vastaukset 8
Vanhimmat
Kolikon keskipiste on jossakin neliössä. Tutki mitkä alueet neliössä on suotuisia sille että kun keskipiste kuuluu alueeseen niin kolikko koskettaa tasan kolmea neliötä. Lasket tuon pinta-alan ja jaat neliön pinta-alalla.
(Ilmeisesti kolikko ei kuitenkaan koskaan osu lähelle liinan reunaa tai ulkopuolelle tai liina on ääretön).
Suotuisa pinta-ala on 1,8^2-Pii*0,9^2
Eli kysytty todennäköisyys on
(1,8^2-Pii*0,9^2)/5^2=0,0278
Muista hämärastl kivikaudella lukeneeni esimerkin, jossa Monte Carlo -simuloinnilla haettiin piin likiarvo tuollaisella kolikkosysteemillä.
Muistaako joku muu tämän? Olisi kiva palauttaa mieleen.
En jaksa miettiä nimenomaan kolikkoa, mutta ajatellaan vaikkapa tikkaa
Heitetään tikkaa 1m x 1m tauluun, jonka sisässä ympyrä (säde 50cm).
Tehdään n kpl heittoja, ja lasketaan ympyrän sisään osuvien määrä k.
Nyt odutusarvo E(k/n)=Pii/4 eli Piille saadaan likiarvo kun lasketaan
4k/n. Kun n on riittävän suuri voidaan jakaumaa approksimoida normaalijakaumalla ja laskea luottamusväli Piin arvolle.
Kuvittele pudottavasi pöytäliinalle 1,8 cm neliö, jonka sivut ovat yhdensuuntaiset pöytäliinan kuvioiden kanssa.
Kuvittele edelleen tuon neliön sisään halkaisijaltaan 1,8 cm ympyrä.
Nyt varmaan näet, että ympyrä koskettaa tasan kolmea neliötä vain ja ainoastaan silloin kun pöytäliinalla olevien neliöiden kulma osuu tuon pudottamasi 1,8 cm neliön sisään mutta 1,8 cm ympyrän ulkopuolelle.
Koska noita neliöiden kulmia on 5 cm välein ja pudotetun neliö-ympyrä-yhdistelmän sivu on vain 1,8 cm, riittää, että tarkastelet yhtä 5 cm x 5 cm aluetta, jonka keskellä on yksi pöytäliinan neliöiden sivujen leikkauspiste.
Kysytty tulos on siis 1,8 cm neliön ja sen sisään piirretyn 1,8 cm halkaisijan ympyrän välisen pinta-alan suhde 5 cm x 5 cm alaan. Tuolla todennäköisyydellä kuvio putoaa mainitsemallani tavalla.
Edistyin tuon asian kanssa ja sain oikean vastauksen 0.028. En vielä tosin sisäistänyt, miksi tarkalleen ottaen tuosta ympyrän ympärille piirretystä "apuneliön" pinta-alasta täytyy vähentää ympyrän pinta-ala?
kiitoksia tähän asti saamistani ohjeista, toivottavasti saan kohta ahaa-elämyksen ja oivallan tehtävän :)
"En vielä tosin sisäistänyt, miksi tarkalleen ottaen tuosta ympyrän ympärille piirretystä "apuneliön" pinta-alasta täytyy vähentää ympyrän pinta-ala?"
Siksi, että näin saat ne tapaukset, missä kolikko on tasan kolmen ruudun päällä.
Kun ruutujen reunojen leikkauspiste on neliön sisällä, mutta ympyrän ulkopuolella, on ympyrä (=kolikko) aina tasan kolmen ruudun päällä. Jos ruutujen reunojen leikkauspiste olisi ympyränkin sisällä, olisi ympyrä neljän ruudun päällä. Jos se taas olisi tuon apuneliön ulkopuolella, olisi ympyrä vain yhden tai kahden ruudun päällä.
Nyt ymmärsin ratkaisumenetelmän, kiitoksia vaivannäöstänne!