Heips.
Minulla on ongelma. (kvanttimekaaninen) harmoninen oskillaattori on kyseessä.
Schrödinger: (-h^2/2m)u¨(x) (1/2)Kx^2 u(x) = Eu(x)
Kun merkitään alfa^2 = (mK)^(1/2)/h^2 , lambda = 2E/(hw) (w on siis omega) sekä w = (K/m)^(1/2) (oskillaattorin värähtelytaajuus) ja tehdään muuttujanvaihdos y = alfa*x, saadaan yhtälö: d^2u(y)/dy^2 (lambda - y^2)u(y) = 0.
Yritin katsoa, tuleeko tuosta saadusta yhtälöstä alkuperäinen Schrödinger, mutta en vain saanut (sain lähelle, mutta jokin meni vikaan). Eli nyt algebra mättää mulla.
Jaksaako joku avulias sielu auttaa ja tehdä tuon mahdollisimman monen välivaiheen kanssa tuosta y:n funktion yhtälöstä alkuperäiseen Schrödingeriin?
Minulla on ongelma. (kvanttimekaaninen) harmoninen oskillaattori on kyseessä.
Schrödinger: (-h^2/2m)u¨(x) (1/2)Kx^2 u(x) = Eu(x)
Kun merkitään alfa^2 = (mK)^(1/2)/h^2 , lambda = 2E/(hw) (w on siis omega) sekä w = (K/m)^(1/2) (oskillaattorin värähtelytaajuus) ja tehdään muuttujanvaihdos y = alfa*x, saadaan yhtälö: d^2u(y)/dy^2 (lambda - y^2)u(y) = 0.
Yritin katsoa, tuleeko tuosta saadusta yhtälöstä alkuperäinen Schrödinger, mutta en vain saanut (sain lähelle, mutta jokin meni vikaan). Eli nyt algebra mättää mulla.
Jaksaako joku avulias sielu auttaa ja tehdä tuon mahdollisimman monen välivaiheen kanssa tuosta y:n funktion yhtälöstä alkuperäiseen Schrödingeriin?
Vastaukset 4
Vanhimmat
Mitä siis haluat oikeastaan tehdä? Oskillaattorin klassinen Hamiltonin funktio on muotoa
H = p^2/(2m) (1/2) Kx^2
Kun tälle tehdään kanoninen kvantisointi, saadaan
H = -h^2/(2m) d^2/dx^2 (1/2) K x^2
Schrödingerin yhtälö on
(ih) du/dt = H u
Tuo esittämäsi yhtälö taas näyttää enemmän energian ominaisarvojen yhtälöltä
H u = E u
josta ei kyllä aikariippuvaa Schrödingerin yhtälöä saa millään.
Tokihan siitä täytyy Schrödingerin yhtälö saada takaisin kun et ole tehnyt mitään muuta kuin kirjoittanut vakiot eri muotoon ja skaalannut x->ax. Kirjoitappa nyt ihan ajatuksen kanssa muunnosyhtälöt joilla pääset takaisin x-muuttujaan, eli y=alfa*x, d^2/dy^2 = 1/alfa^2 d^2/dx^2 ja sijoita nämä ensin tuohon yhtälöön. Sen jälkeen sijoita alfan ja lambdan paikalle normaalit suureet ja tuloksen pitäisi olla tuttu. Jos vika ei ole tuossa derivaatan muuntamisessa niin sitten olet yksinkertaisesti laskenut jonkun kertolaskun väärin.
Kyllä ongelmani oli ilmeisesti juuri tuo derivaatan muuntaminen.
Tämähän on sinulle selvää kauraa. Nostapa persettäsi 2 senttiä kyykystä ja vastaa!