Minun pitäisi kirjoittaa ja ratkaista 3-D Schrödingerin yhtälö harmoniselle oskillaattorille, jossa potentiaalienergian lauseke on 1/2K(x^2 y^2 z^2). Jos potentiaalia ei olisi, tämän yhtälön -h^2/2m(nabla^2) psii(x,y,z) = E psii(x,y,z) voisi ratkaista separoituvalla yritteellä, mutta nyt olen pulassa. Onko ideoita? Ärsyttävää, kun en keksi ratkaisua..
Kiitos, jos jaksat auttaa!
Kiitos, jos jaksat auttaa!
Vastaukset 1
Vanhimmat
Tarkoitatko siis, että haluat ratkaista harmonisen oskillaattorin Schrödingerin yhtälön
ih dpsi(r,t)/dt = -h^2/(2m) nabla^2 psi(r,t) V(r) psi(r,t),
jossa r = (x,y,z) ja V(r) = 1/2 K(x^2 y^2 z^2)? Separoituvalla yritteellä psi(r,t) = g(t) f(r) saat
ih g(t)/dt f(r) = -h^2/(2m) g(t) nabla^2 f(r) V(r) g(t) f(r),
eli
ih (g(t)/dt)/g(t) = -h^2/(2m) (1/f(r)) nabla^2 f(r) V(r),
Koska vasen puoli riippuu vain t:sta ja oikea r:stä, on molempien puolien arvo oltava joku vakiot E, jolloin saadaan
-h^2/(2m) (1/f(r)) nabla^2 f(r) V(r) = E
Jälkimmäinen yhtälö on nyt siis tuota ominaisarvoyhtälöäsi vastaava:
-h^2/(2m) nabla^2 f(r) V(r) f(r) = E f(r)
Tämän voi yleensä ratkaista jotenkin separoimalla, koordinaattimuunnoksella tai jotenkin, mutta se että mikä menetelmä toimii riippuu reunaehdoista. Mutta kuitenkin siitä saadaan ominaisfunktiot fn(r) ja -arvot En. Olkoon nyt
psi(r,t) = sum_k g_k(t) fn(r)
sijoitetaan Schrödingerin yhtälöön:
ih sum_k dg_k(t)/dt fn(r)
= -h^2/(2m) sum_k g_k(t) nabla^2 fn(r)
V(r) sum_k g_k(t) nabla^2 fn(r),
Oikea puoli voidaan kirjoittaa ominaisarvojenkin avulla:
ih sum_k dg_k(t)/dt fn(r) = sum_k g_k(t) E_n fn(r)
Jotta summien termit täsmäävät, on oltava:
ih dg_k(t)/dt = g_k(t) E_n
josta g(t) = exp(-it/h En). Siispä ratkaisu on
psi(r,t) = sum_k exp(-it/h En) fn(r)
Voi olla, että tein jonkun huolimattomuusvirheen, mutta siis idea on ihan vaan käyttää ominaisfunktiohajotelmaa, joka on ihan perus ODE:iden ratkaisumenetelmä.
Jotta oikeasti saat tuon ratkaistua, pitää sinun määrätä jotkut reunaehdot.