Osaisiko joku auttaa? Pitäisi laskea seuraavanlaisen eksponenttifunktion toinen derivaatta:
S = (t-3)^2 e^t
Funktioon liittyen kysytään seuraavaa:
S´´(0) = ?
Eli mitä funktion S arvo on silloin, kun muuttuja t on 0.
e on Neperin luku, joka löytyy laskimesta.
Vastaus annettiin valmiiksi, sen pitäisi olla -1.
Kaikenlaísia derivoimissääntöjä on annettu koulussa, tiedän että luonnollinen logaritmi kumoaa neperin luvun ja että derivoitaessa neperin luku, jossa on potenssina jokin muuttuja, tulos ei muutu miksikään. Tiedän myös yhdistetyn funktion derivointikäsitteen, mutta onko tässä yhtälössä nyt 2 vai 3 funktiota? Eli onko esim t-3 sisäfunktio, ^2 ulkofunktion ja e^t kolmas funktio?
S = (t-3)^2 e^t
Funktioon liittyen kysytään seuraavaa:
S´´(0) = ?
Eli mitä funktion S arvo on silloin, kun muuttuja t on 0.
e on Neperin luku, joka löytyy laskimesta.
Vastaus annettiin valmiiksi, sen pitäisi olla -1.
Kaikenlaísia derivoimissääntöjä on annettu koulussa, tiedän että luonnollinen logaritmi kumoaa neperin luvun ja että derivoitaessa neperin luku, jossa on potenssina jokin muuttuja, tulos ei muutu miksikään. Tiedän myös yhdistetyn funktion derivointikäsitteen, mutta onko tässä yhtälössä nyt 2 vai 3 funktiota? Eli onko esim t-3 sisäfunktio, ^2 ulkofunktion ja e^t kolmas funktio?
Vastaukset 4
Vanhimmat
merkitse A=(t-3)^2 ja B=e^t
nyt S=AB ja nyt derivoit S`=A`*B B`*A , ja S"=A"*B B`*A` B"*A A`*B`
Sitten muodostat A`ja A", (B:n derivaatat ovatkin e^t), ja sijoitat tuohon toisen derivaatan lausekkeeseen
voihan siinä kikkailla logaritmisen derivoinninkin kanssa
S=(t-3)²e^t otetaan puolittain ln
lns=2ln(t-3) t derivoidaan puolittain
S'/s=(t-1)/(t-3) otetaan puolittain ln
lns'-lns=ln(t-1)-ln(t-3) ja sijoittamalla lns saadaan
lns'=ln(t-1) ln(t-3) t derivoidaan puolittain
s"/s'=(1/(t-1)) (1/(t-3)) 1 ja kun s'=(t-1)(t-3)e^t (kolmannelta riviltä saatu), niin:
s"=e^t(t²-2t-1) ja s"(0)=-1
Pitää kai rajoittaa Mj niin ,että ei ota jälkimmäistä ln:ia negatiivisesta luvusta. Nollallahan tosin niin ei käy.
Funktioiden tulon derivointi on helppoa: Derivoidaan tulo tekijä kerrallaan pitäen muita tekijöitä derivoinnissa vakioina. Koko tulon derivaatta on sitten tekijöiden derivaattojen summa.
Tässä tapauksessa tulon ensimmäinen tekijä on (t-3)^2 ja toinen e^t.
Toinen derivaatta tulee saadaan tietysti derivoimalla uudelleen ensimmäinen derivaatta. Tässä tapauksessa tulos on e^t (t-3)^2 4 e^t (t-3) 2 e^t.