Neliöön täydentäminen

Asia ei ole vaikea, mutta ei kovin helppokaan. Lähiopetuksessa asian oppii nopeasti, kun on vain tarpeeksi aikaa. Kysypä siis opettajaltasi. Mutta ehkä seuraava auttaa vähän.

Ensiksi sinun on osattava käyttää binomin neliökaavoja: (a b)^2 = a^2 2ab b^2 ja vastaavaa miinusmerkin sisältävää kaavaa.

*Esimerkki:* (x - 3)^2 = x^2 - 6x 9, sillä kaavan a = x ja kaavan b = 3.

Tekijöihin jakaminen on näiden (tai muiden) kaavojen käyttämistä nurinkurisesti: ei lasketa jotain toista potenssia auki, vaan kirjoitetaan jokin lauseke toisena potenssina.

*Esimerkki:* Jaetaan lauseke x^2 4x 4 tekijöihin, jolloin saadaan (x 2)^2, sillä kaavan a = x ja kaavan b = 2.

Neliöksi täydentämistä tarvitset silloin, kun tarkasteltava lauseke ei ole sellaisessa muodossa, jonka saa binomin neliöikaavoista. Tällöin sinun on lisättävä tai vähennettävä lausekkeesta puuttuvat termit.

*Esimerkki:* Täydennetään neliöksi lauseke x^2 - 10x. Arvataan, että voidaan soveltaa kaavaa a^2 - 2ab b^2 = (a - b)^2. Nyt kaavan a = x, mutta tarkasteltavasta lausekkeesta puuttuu kokonaan vakiotermi b^2. Toisaalta tarkasteltavan lausekkeen termi -10x voidaan kirjoittaa muodossa -2x * 5, jossa * tarkoittaa kertolaskua. Kirjoitetaan kaava ja tutkittava lauseke allekkain (vaihda fontti tasalevyiseksi, niin näyttää paremmalta):

a^2 - 2a b b^2 = (a - b)^2
x^2 - 2x * 5

Huomaat, että kaavan -2a = -2x, joten kaavan b = 5. Siispä puuttuva termi b^2 = 25, ja siksi b = 5.

Siis x^2 - 10x täydennetään neliöksi lisäämällä siihen puuttuva termi 25, jolloin saadaan x^2 - 10x 25 = (x - 5)^2.

Neliöksi täydentäminen tietenkin muuttaa lausekkeen arvoa, kun kerran siihen lisättiin 25.

Sovelletaan neliöksi täydentämistä vielä ympyrän keskipisteen etsimiseen.

*Esimerkki:* On etsittävä ympyrän x^2 y^2 - 10x 2y = 0 keskipiste. Tiedetään, että keskipistemuodossa on kaksi neliötä, yksi kummallekin muuttujista x ja y. Käsitellään siis x:t ja y:t erikseen, jota varten on turvallisinta myös kirjoittaa ne erilleen:

x^2 - 10x y^2 2y = 0.

Edellisessä esimerkissä nähtiin, että x^2 - 10x täydentyy neliöksi lisäämällä siihen 25. Toisaalta lausekkeen arvoa ei saisi muuttaa, jotta ympyrä pysyisi samana, joten myös yhtälön toiselle puolelle on lisättävä sama 25. Saadaan

x^2 - 10x 25 y^2 2y = 25 eli neliöksi kirjoittaen (x - 5)^2 y^2 2y = 25.

Myös y:tä sisältävä osa halutaan kirjoittaa neliönä. Aivan samoin kuin edellisessä esimerkissä huomataan, että lisäämällä lausekkeen y^2 2y perään 1 saadaan y^2 2y 1, joka on binomikaavojen mukaan sama kuin (x 1)^2. Nytkin on muistettava lisätä sama 1 myös yhtälön toiselle puolelle. Saaadaan

(x - 5)^2 (y 1)^2 = 25 1 eli (x - 5)^2 (y 1)^2 = 26.

Tästä muodosta ympyrän keskipiste (5, -1) näkyy helposti.

onnistuu toisellakin tavalla.
Jos kokeillaan tuota yhtälöä x^2 y^2-4y-1=0, ja halutaan se tämmöiseksi:

(x-a)^2 (y-b)^2=c^2, kirjoitetaan auki:

x^2-2ax a^2 y^2-2by b^2-c^2=0

-2a=0=>a=0
-2b=-4=>b=2
a^2 b^2-c^2=-1=>4 1=c^2=>c^2=5

ja sijoitettuna: x^2 (y-2)^2=5




Täydennetään neliöksi sitten hieman hankalampi: (2x^3) (3x) (3y^2) (4y)-6=0

Siis tämmöiseen muotoon: (ax-b)^2 (cy-d)^2=e^2

Kirjoitetaan auki: (a^2x^2)-(2abx) (b^2) (c^2y^2)-(2cdy) (d^2)-e^2=0

a^2=2=>a=sqrt(2)
-2ab=3=>b=-3/(2sqrt(2))
c^2=3=>c=sqrt(3)
-2cd=4=>d=-2/(sqrt(3))
b^2 d^2-e^2=-6=>e^2=203/24

Ja sijoitettuna: (sqrt(2)x (3/(2sqrt(2))))^2 (sqrt(3)y (2/(sqrt(3))))^2=203/24