Olisi tällainen käänteisfunktio, josta en nyt saa selvää mitenkään:
Funktiolla f:[(1/2),ääretön[ --> [0,ääretön[, f(x) = (2x-1)^2 on käänteisfunktio. Määritä (f^(-1))(9)
Vastaukseksi pitäisi kuulemma tulla 1/12, mutta kun en vaan saa sellaista. Saan vastaukseksi aina 2.
Olen ymmärtänyt, että koska tuossa (f^(-1)) ja (9) välissä ei ole derivointipilkkua, eli ', niin funktiota ei tietenkään derivoida, eli sitä ei muuteta seuraavasti yhdistetyn funktion derivaatalla:
(2x-1)^2 --> 2(2x-1) * 2
Ei vaan se pysyy muodossa (2x-1)^2
Muodostettaessa käänteisfunktiota pitää ymmärtääkseni ratkaista yhtälöstä x ja vaihtaa muuttujien paikkoja, eli jos merkitään yhtälöä vaikka Y:llä tähän malliin:
Y = (2x-1)^2
Ja ratkaistaan x: (Huom: kuvaan neliöjuurta nimellä neliöjuuri, koska sen merkkiä ei ole näppäimistössä, ja vain tuo Y on sen sisällä koko ajan)
Y = (2x-1)^2 --> (neliöjuuri(Y)) = 2x-1 --> (neliöjuuri(Y)) 1 = 2x --> X = ((neliöjuuri(Y)) 1) / 2
(HUOM: tässä kohtaa olen myös yrittänyt purkaa yhtälöä binomin neliön kaavalla, mutta siitä tulee taas toiseen asteen yhtälö, jossa X sijaitsee useammassa, kuin yhdessä termissä.)
Sitten vaihdetaan X ja Y keskenään, eli:
Y = ((neliöjuuri(X)) 1) / 2
Jos vielä hankkiudutaan eroon tuosta nimittäjästä(2), eli kerrotaan termit puolikkaalla, niin yhtälö muuttuu muotoon:
Y = (1/2)(neliöjuuri(X)) (1/2)
Tuon viimeisen pitäisi olla se käänteisfunktio alkuperäisestä yhtälöstä, jos oikein ymmärrän. Mutta nyt jos sijoitan sen alussa olleen 9:n arvon tuohon X:n paikalle, niin tulos on 2.
Mitä teen väärin?
Funktiolla f:[(1/2),ääretön[ --> [0,ääretön[, f(x) = (2x-1)^2 on käänteisfunktio. Määritä (f^(-1))(9)
Vastaukseksi pitäisi kuulemma tulla 1/12, mutta kun en vaan saa sellaista. Saan vastaukseksi aina 2.
Olen ymmärtänyt, että koska tuossa (f^(-1)) ja (9) välissä ei ole derivointipilkkua, eli ', niin funktiota ei tietenkään derivoida, eli sitä ei muuteta seuraavasti yhdistetyn funktion derivaatalla:
(2x-1)^2 --> 2(2x-1) * 2
Ei vaan se pysyy muodossa (2x-1)^2
Muodostettaessa käänteisfunktiota pitää ymmärtääkseni ratkaista yhtälöstä x ja vaihtaa muuttujien paikkoja, eli jos merkitään yhtälöä vaikka Y:llä tähän malliin:
Y = (2x-1)^2
Ja ratkaistaan x: (Huom: kuvaan neliöjuurta nimellä neliöjuuri, koska sen merkkiä ei ole näppäimistössä, ja vain tuo Y on sen sisällä koko ajan)
Y = (2x-1)^2 --> (neliöjuuri(Y)) = 2x-1 --> (neliöjuuri(Y)) 1 = 2x --> X = ((neliöjuuri(Y)) 1) / 2
(HUOM: tässä kohtaa olen myös yrittänyt purkaa yhtälöä binomin neliön kaavalla, mutta siitä tulee taas toiseen asteen yhtälö, jossa X sijaitsee useammassa, kuin yhdessä termissä.)
Sitten vaihdetaan X ja Y keskenään, eli:
Y = ((neliöjuuri(X)) 1) / 2
Jos vielä hankkiudutaan eroon tuosta nimittäjästä(2), eli kerrotaan termit puolikkaalla, niin yhtälö muuttuu muotoon:
Y = (1/2)(neliöjuuri(X)) (1/2)
Tuon viimeisen pitäisi olla se käänteisfunktio alkuperäisestä yhtälöstä, jos oikein ymmärrän. Mutta nyt jos sijoitan sen alussa olleen 9:n arvon tuohon X:n paikalle, niin tulos on 2.
Mitä teen väärin?
Vastaukset 2
Vanhimmat
Niin siis arvo f^(-1)(9) saadaan ratkaisemalla yhtälö
(2x-1)^2 = 9
josta saadaan
(2x-1) = 3
2x = 4
x = 2
Ehkäpä kysytiinkin derivaattaa tässä kohdassa, koska
sille saadaan
d/dy [f^(-1)(y)]
= 1/f'(f^(-1)(y))
= 1/f'(2)
= 1/[2*2*(2*2-1)]
= 1/12
"Määritä (f^(-1))(9)"
Ehkä tehtävän annossa on virhe. Kyllä (f^(-1))(9) = 2 mutta käänteisfunktion derivaatta (f^(-1))'(9) = 1/12.