Olkoon derivoituva funktio f: R->R homogeeninen astetta r. Osoita
1) että Eulerin sääntö pätee: f´(x)c=rf(x)
Eikö tämän voisi derivoida puolittain r:n suhteen, mutta mitä on esim. df´(x)/dr ?
2) että astetta r olevan homogeenisen funktion derivaatta on homogeeninen astetta r-1: f´(ax)=f´(x)a^(r-1)
Olen tätäkin yrittänyt puolittain derivoida (x:n suhteen), mutta sama homma, mitä on esim. f´(ax):n derivaatta x:n suhteen? f´´(ax) ?
1) että Eulerin sääntö pätee: f´(x)c=rf(x)
Eikö tämän voisi derivoida puolittain r:n suhteen, mutta mitä on esim. df´(x)/dr ?
2) että astetta r olevan homogeenisen funktion derivaatta on homogeeninen astetta r-1: f´(ax)=f´(x)a^(r-1)
Olen tätäkin yrittänyt puolittain derivoida (x:n suhteen), mutta sama homma, mitä on esim. f´(ax):n derivaatta x:n suhteen? f´´(ax) ?
Vastaukset 1
Vanhimmat
Homogeenisuus:
f(ax) = a^r f(x)
Derivoidaan kumpikin puoli vakion a suhteen:
x f'(a x) = r a^{r-1} f(x)
jos a = 1, saadaan Eulerin yhtälö (sellaisena kuin internet sen tuntee)
x f'(x) = r f(x)
Jos taas derivoidaan ensimmäinen yhtälö x:n suhteen, saadaan
a f'(ax) = a^r f'(x)
f'(ax) = a^{r-1} f'(x)