Moi, nyt kaivattais pikaista apua kokeen lähestyessä! Elikkä harjotuskokeesta löytyy tälläinen tehtävä:
Näytä, että seuraavalla lineaarisella yhtälöryhmällä on olemassa ratkaisu kaikilla reaalisilla vakioilla a, b ja c.
x 2y z = a
x z = b
x y z = c
Sen verran itse sain selville, että jos tehdään tuosta yhtälöryhmästä kerroinmatriisi niin sen determinantiksi saadaan 0, jolloin ilmeisesti (en ole varma) se tarkoittaa sitä, että yhtälöllä joko ei ole yhtään ratkaisua tai on ääretön määrä ratkaisuja. En tiedä onko tuosta päättelystä edes mitään hyötyä kyseisen tehtävän ratkaisemiseksi, mutta se on ainoa mitä onnistuin järkeilemään.
Kiitos jo etukäteen avusta!
Näytä, että seuraavalla lineaarisella yhtälöryhmällä on olemassa ratkaisu kaikilla reaalisilla vakioilla a, b ja c.
x 2y z = a
x z = b
x y z = c
Sen verran itse sain selville, että jos tehdään tuosta yhtälöryhmästä kerroinmatriisi niin sen determinantiksi saadaan 0, jolloin ilmeisesti (en ole varma) se tarkoittaa sitä, että yhtälöllä joko ei ole yhtään ratkaisua tai on ääretön määrä ratkaisuja. En tiedä onko tuosta päättelystä edes mitään hyötyä kyseisen tehtävän ratkaisemiseksi, mutta se on ainoa mitä onnistuin järkeilemään.
Kiitos jo etukäteen avusta!
Vastaukset 11
Vanhimmat
Ratkaise yhtälöryhmä, ja tutki, ovatko ratkaisulausekkeet määritellyt kaikilla reaaliluvuilla a, b ja c.
Tarkastapa vielä, oliko tehtävänanto todella se, minkä olet kirjoittanut tänne. Tuossa muodossa väite ei nimittäin päde. Jos esimerkiksi a = 0 = b ja c = 1, ei ratkaisuja ole.
Vastauksena ensimmäiseen vastaukseen: miten pystyn tämän yhtälöryhmän ratkaisemaan? Ja toiseen vastaukseen: kyllä, tarkistin juuri ja tehtävä on täsmälleen näin annettu. Eli hukassa ollaan yhä??
Tehtävää ei voi ratkaista, jos siinä todella oli juuri nuo yhtälöt. Jos a = b = 0 ja c = 1, niin kahdesta alemmasta yhtälösä saadaan y = 1 ja sitten ylimmästä identtisesti epätosi 2 = 0. Siis kaikilla a:n, b:n ja c:n arvoilla yhtälöryhmällä ei olekaan ratkaisua, vaikka toista väitettiin.
Ok, tosiaan loogisesti ajatellen noin sen täytyy olla. Kiitoksia avusta!
x 2y z=a
x 0y z=b
x y z=c , lisätään viimeinen rivi toiseen
x 2y z=a
2x y 2z=b c
x y z=c , lasketaan kaikki yhteen
4x 4y 4z=a b 2c, josta x=a/4, y=b/4 ja z=c/2 , sijoitetaan alkuperäiseen ryhmään:
a/4 b/2 c/2=a
a/4 c/2=b
a/4 b/4 c/2=c , joista a=3b/2 ja c=5b/4
Olkoon b mikä reaaliluku hyvänsä, niin a=3b/2 ja c=5b/4, ja yhtälöryhmällä ratkaisu x=a/4, y=b/4 ja z=c/2
Olkoon a mikä reaaliluku hyvänsä , niin b=2a/3 ja c=5a/6, ja yhtälöryhmällä yo. ratkaisu
Olkoon c mikä reaaliluku hyvänsä, niin a=6c/5 ja b=4c/5, ja yhtälöryhmällä yo. ratkaisu
"4x 4y 4z=a b 2c, josta x=a/4, y=b/4 ja z=c/2"
Näin ei voi tehdä. Ethän myöskään päättelisi, että jos x y z = 1 2 3, niin x = 1, y = 2 ja z = 3
piti osoittaa, että joku ratkaisu on olemassa, ei hakea tarkkaa ja vedenpitävää ratkaisua yhtälöryhmälle,
ja tuo on ratkaisu
"piti osoittaa, että joku ratkaisu on olemassa"
Selitin asian tosi huonosti, pahoittelen. Tarkoitin seuraavaa: Ajatellaan esimerkin vuoksi yhtälöryhmää
x - y = 1,
2y = 2,
z = 3.
Kun yhtälöt lasketaan yhteen, saadaan x y z = 1 2 3. Nyt ei silti saa ajatella, että x = 1, y = 2 ja z = 3 olisi eräs alkuperäisen yhtälöryhmän ratkaisu, sillä se ei ole sitä.
Omassa ratkaisussasi x=a/4, y=b/4 ja z=c/2 on kyllä eräs ratkaisu yhtälölle 4x 4y 4z=a b 2c muttei alkuperäiselle yhtälöryhmälle. Voit todeta tämän vaikka sijoittamalla a = b = 0 ja c = 1.
Toisaalta on siinä ratkaisussasi sekin pulma, että lukujen a, b ja c piti saada olla mitä reaalilukuja hyvänsä, mutta olet vuorollaan sitonut kaksi näistä kolmanteen. Luvuilla ei kuitenkaan tehtävänannon mukaan tarvitse olla mitään riippuvuussuhdetta toisiinsa.
olisi saada aikaan rivi [0 0 0 -a-b 2c], josta ratkaisuiden olemassaololle saadaan ehto
a b = 2c. Tällöin ratkaisuja on äärettömästi, muussa tapauksessa ratkaisuja ei ole olemassa.
ratkaisujen olemassaoloehto saadaan helposti kertomalla molemmat ylärivit -1:llä ja alin rivi 2:lla ja laskemalla puolittain yhteen, tai ihan vaan ratkaisemalla muuttujia yksitellen ja sijoittamalla.
Halusin kuitenkin saada sellaisen muodon, missä on ratkaisujen olemassaoloehto , sekä muoto mistä saadaan myös itse ratkaisut, antamalla vaan mille tahansa vakioista mikä tahansa arvo.
Annetaan nyt c:lle vaikka 15, niin kivuttomasti tulee x=4,5 y=3 ja z=7,7 sillä edellytyksellä, että a=18 ja b=12
Se on selvä, että tehtävässä haettiin ratkaisun olemassaoloehtoa, siis a b=2c, mutta huonosti muotoiltu tuo "kaikilla reaalisilla vakioilla a,b ja c". Minun tekeleessäni kaikilla reaalisilla vakioilla a, b ja c, ratkaisu löytyy, siis minun mielestäni.