Kuinka laskea vasta- ja myötätuulen merkitys

Jos oletetaan, että tuuli vaikuttaa pyöräilijään pelkästään kulkusuunnassa ja vakiolla voimalla F_t ja pyöräilijä polkee vakiovoimalla F_p, saadaan liikeyhtälö menomatkalle

F_p - F_t = ma_m

ja tulomatkalle

F_p F_t = ma_t.

Laskemalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan

2F_p = ma_m ma_t = m(a_m a_t) F_p = (m/2)*(a_m a_t)

Paikaltaan liikkeelle lähtevälle pyöräilijän kulkema matka

s = (1/2)*at^2, josta a = 2s/t^2, missä a on (vakio)kiihtyvyys ja t käytetty aika.

Koska meno- ja tulomatka ovat samat, a_m = 2s/t_m^2 ja a_t = 2s/t_t^2.
Tiedetään, että t_m = 2min = 2t_t, jolloin a_m = 2s/(2t_t)^2 = (1/4) * 2s/t_t^2 = a_t/4.

Sijoittamalla F_p = ma_p = (m/2)*(a_m a_t) = (m/2)*(a_t/4 a_t) = m*(5/8)a_t ,

josta a_p = 2s/t_p^2 = (5/8)a_t = (5/8)* 2s/t_t^2 = 2s / [(4/√5)t_t]^2, josta

t_p = (4/√5)t_t ≈ 1.79t_t ≈ 1min 47s.

josjosjos kirjoitti:

Jos oletetaan, että tuuli vaikuttaa pyöräilijään pelkästään kulkusuunnassa ja vakiolla voimalla F_t ja pyöräilijä polkee vakiovoimalla F_p, saadaan liikeyhtälö menomatkalle

F_p - F_t = ma_m

ja tulomatkalle

F_p F_t = ma_t.

Laskemalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan

2F_p = ma_m ma_t = m(a_m a_t) F_p = (m/2)*(a_m a_t)

Paikaltaan liikkeelle lähtevälle pyöräilijän kulkema matka

s = (1/2)*at^2, josta a = 2s/t^2, missä a on (vakio)kiihtyvyys ja t käytetty aika.

Koska meno- ja tulomatka ovat samat, a_m = 2s/t_m^2 ja a_t = 2s/t_t^2.
Tiedetään, että t_m = 2min = 2t_t, jolloin a_m = 2s/(2t_t)^2 = (1/4) * 2s/t_t^2 = a_t/4.

Sijoittamalla F_p = ma_p = (m/2)*(a_m a_t) = (m/2)*(a_t/4 a_t) = m*(5/8)a_t ,

josta a_p = 2s/t_p^2 = (5/8)a_t = (5/8)* 2s/t_t^2 = 2s / [(4/√5)t_t]^2, josta

t_p = (4/√5)t_t ≈ 1.79t_t ≈ 1min 47s.

Mutta eihän se tuuli voi mitenkään vaikuttaa vakiovoimalla. Jos vaikka poljet myötätuuleen samalla nopeudella kuin tuuli, niin ainakin minun logikallani ei tuuli vaikuta minkäänlaisella voimalla. Muutenkin ainakin oman kokemukseni mukaan ilmanvastusvoima on sitä suurempi mitä lujempaa kuljetaan eli voima riippuu nopeudesta (ilman suhteen). Tässä tehtävässä tämä tarkoittaa sitä, että ilmanvastuksen aiheuttama voima on erisuuri meno-ja tulomatkalla.

asfwqrqer kirjoitti:

Mutta eihän se tuuli voi mitenkään vaikuttaa vakiovoimalla. Jos vaikka poljet myötätuuleen samalla nopeudella kuin tuuli, niin ainakin minun logikallani ei tuuli vaikuta minkäänlaisella voimalla. Muutenkin ainakin oman kokemukseni mukaan ilmanvastusvoima on sitä suurempi mitä lujempaa kuljetaan eli voima riippuu nopeudesta (ilman suhteen). Tässä tehtävässä tämä tarkoittaa sitä, että ilmanvastuksen aiheuttama voima on erisuuri meno-ja tulomatkalla.

Niinpä niin. Samalla energialla olisit voinut esittää oman ratkaisusi.

asfwqrqer kirjoitti:

Mutta eihän se tuuli voi mitenkään vaikuttaa vakiovoimalla. Jos vaikka poljet myötätuuleen samalla nopeudella kuin tuuli, niin ainakin minun logikallani ei tuuli vaikuta minkäänlaisella voimalla. Muutenkin ainakin oman kokemukseni mukaan ilmanvastusvoima on sitä suurempi mitä lujempaa kuljetaan eli voima riippuu nopeudesta (ilman suhteen). Tässä tehtävässä tämä tarkoittaa sitä, että ilmanvastuksen aiheuttama voima on erisuuri meno-ja tulomatkalla.

Älä nyt ryhdy muuttamaan tehtävää kesken kaiken, sillä oli sanottu, että pyöräilijä polkee aina samalla voimalla. Tästä taas seuraa, että pyöräilijän ilmanopeuden tulee olla vakio, jotta ilmanvastuksen aiheuttama voima säilyisi vakiona.

että näin kirjoitti:

Älä nyt ryhdy muuttamaan tehtävää kesken kaiken, sillä oli sanottu, että pyöräilijä polkee aina samalla voimalla. Tästä taas seuraa, että pyöräilijän ilmanopeuden tulee olla vakio, jotta ilmanvastuksen aiheuttama voima säilyisi vakiona.

"Tästä taas seuraa, että pyöräilijän ilmanopeuden tulee olla vakio, jotta ilmanvastuksen aiheuttama voima säilyisi vakiona."

Olet oikeassa, että tässä tapauksessa ilman nopeus onkin vakio. Mutta pitää nopeuden ja ilmanvastuksen välille olettaa kuitenkin joku riippuvuus, esimerkiksi lineaarinen:

Menomatkalla liikeyhtälö on (massa on 1)

x'' = f - c (x' v)

jossa c on ilmanvastuskerroin ja v tuulen nopeus. Tulomatkalla

y'' = f - c (y' - v)

Stationääriset nopeudet ovat tällöin x' = f/c - v ja y' = f/c v. Nyt voidaan valita matkaksi 1m, jolloin saadaan yhtälöt

(f/c - v) 2 min = 1m
(f/c v) 1 min = 1m

Aika ilman tuulta saadaan ratkaistua tuosta näin:

c/f = 4/3 min

Tarkempi tulos saataisiin laskemalla oikeasti differentiaaliyhtälöt auki eikä käyttämällä stationäärisiä nopeuksia.

asfwqrqer kirjoitti:

"Tästä taas seuraa, että pyöräilijän ilmanopeuden tulee olla vakio, jotta ilmanvastuksen aiheuttama voima säilyisi vakiona."

Olet oikeassa, että tässä tapauksessa ilman nopeus onkin vakio. Mutta pitää nopeuden ja ilmanvastuksen välille olettaa kuitenkin joku riippuvuus, esimerkiksi lineaarinen:

Menomatkalla liikeyhtälö on (massa on 1)

x'' = f - c (x' v)

jossa c on ilmanvastuskerroin ja v tuulen nopeus. Tulomatkalla

y'' = f - c (y' - v)

Stationääriset nopeudet ovat tällöin x' = f/c - v ja y' = f/c v. Nyt voidaan valita matkaksi 1m, jolloin saadaan yhtälöt

(f/c - v) 2 min = 1m
(f/c v) 1 min = 1m

Aika ilman tuulta saadaan ratkaistua tuosta näin:

c/f = 4/3 min

Tarkempi tulos saataisiin laskemalla oikeasti differentiaaliyhtälöt auki eikä käyttämällä stationäärisiä nopeuksia.

`"Mutta pitää nopeuden ja ilmanvastuksen välille olettaa kuitenkin joku riippuvuus, esimerkiksi lineaarinen"

Ei tarvitse. Tarvitsee vain olettaa, että ilmanvastus on riippuvainen pyöräilijän nopeudesta ilman suhteen eli ilmanopeudesta. Jotta ilmanvastus olisi vakio, on pyöräilijän ilmanopeuden oltava myös vakio.

Näistä ehdoista saadaan yhtälöryhmä, josta ajaksi saadaan tuo 4/3 minuuttia.

että näin kirjoitti:

`"Mutta pitää nopeuden ja ilmanvastuksen välille olettaa kuitenkin joku riippuvuus, esimerkiksi lineaarinen"

Ei tarvitse. Tarvitsee vain olettaa, että ilmanvastus on riippuvainen pyöräilijän nopeudesta ilman suhteen eli ilmanopeudesta. Jotta ilmanvastus olisi vakio, on pyöräilijän ilmanopeuden oltava myös vakio.

Näistä ehdoista saadaan yhtälöryhmä, josta ajaksi saadaan tuo 4/3 minuuttia.

Yhtälöryhmä on tällainen:

s/1-w=c
s/2 w=c
s/t=c,

missä s on matka, w tuulen nopeus, c vakio ja t kysytty aika.

Ryhmän ratkaisuksi saadaan

t = 4/3, c = 3w ja s = 4w, eli vakioilmanopeus on kolminkertainen tuulennopeus ja tuuli kulkee matkan s neljässä minuutissa.

että näin kirjoitti:

`"Mutta pitää nopeuden ja ilmanvastuksen välille olettaa kuitenkin joku riippuvuus, esimerkiksi lineaarinen"

Ei tarvitse. Tarvitsee vain olettaa, että ilmanvastus on riippuvainen pyöräilijän nopeudesta ilman suhteen eli ilmanopeudesta. Jotta ilmanvastus olisi vakio, on pyöräilijän ilmanopeuden oltava myös vakio.

Näistä ehdoista saadaan yhtälöryhmä, josta ajaksi saadaan tuo 4/3 minuuttia.

Ilmanvastuksen täytyy olla riippumaton tuulen nopeudesta, muuten se häviäisi liikuttaessa tuulen nopeudella myötätuuleen. Aiemman vastaajan mukaan tuulen pyöräilijään aiheuttama voima riippuu nopeudesta ilman suhteen...