Tällainen ihan perustehtävä..
y''-2y' y=0, siis yhtälö muotoa y'' p(x)y' r(x)y=0, missä p(x)=-2 ja r(x)=1 kaikilla x.
Nyt eräs lause sanoo että jos 1 p(x) r(x)=0 jokaisessa määrittelyvälin x:ssä, niin yhtälöllä on muotoa y1(x)=Exp(x) oleva ratkaisu.
No, lähdetään etsimään toista ratkaisua: Toinen ratkaisu on muotoa y2(x)=v(x)*y1(x)=v(x)*Exp(x). Derivointi y2' ja y2'' ja saadaan että v''*Exp(x) 2v'Exp(x) vExp(x) -2(vExp(x) vExp(x)) vExp(x) = v''Exp(x) =0
Mitenkäs tästä eteenpäin? Olen ihan jumissa... Tarkoittaako tuo nyt että v(x) on ensimmäisen asteen polynomi ax b, vai miten tästä pitäis jatkaa.
y''-2y' y=0, siis yhtälö muotoa y'' p(x)y' r(x)y=0, missä p(x)=-2 ja r(x)=1 kaikilla x.
Nyt eräs lause sanoo että jos 1 p(x) r(x)=0 jokaisessa määrittelyvälin x:ssä, niin yhtälöllä on muotoa y1(x)=Exp(x) oleva ratkaisu.
No, lähdetään etsimään toista ratkaisua: Toinen ratkaisu on muotoa y2(x)=v(x)*y1(x)=v(x)*Exp(x). Derivointi y2' ja y2'' ja saadaan että v''*Exp(x) 2v'Exp(x) vExp(x) -2(vExp(x) vExp(x)) vExp(x) = v''Exp(x) =0
Mitenkäs tästä eteenpäin? Olen ihan jumissa... Tarkoittaako tuo nyt että v(x) on ensimmäisen asteen polynomi ax b, vai miten tästä pitäis jatkaa.
Vastaukset 2
Vanhimmat
Jos tosiaan tuosta saat, että v''(x) Exp(x) = 0, niin tämä voidaan supistaa muotoon
v''(x) = 0,
jolla on yleinen ratkaisu v(x) = a x b. Sitten vaan sijoittamaan alkuperäiseen yhtälöön ja katsomaan että saat valittua vakiot niin, että yhtälö ja reunaehdot toteutuvat.
ja koko ratkaisu on y1 y2, eli (e^x) (ax b)e^x= (b 1)e^x axe^x, tutummin y= (C1e^x) (C2xe^x)