Onko jotain ohjelmaa tai muuten matemaattista keinoa tehdä lukujonosta yhtälön esim. lukujono 1 4 9 16 25 on oletettavasti f(x)=x^2
lukujono yhtälöksi?
urrbo
7406
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 7
Vanhimmat
Ongelma on, että erilaisia mahdollisuuksia on ääretön erilaista. Ja se, että mikä tarkaisu on parempi kuin toinen ei ole mikään itsestäänselvyys. Taas "lyhimmän" kaavan etsiminen on todistettu algoritmillisesti käytännössä mahdottomaksi.
Itse asiassa pakkausohjelmatkin "muuttavat lukujonon kaavaksi" vaikka kaava onkin fiksattu ja lähinnä sen parametrit (kooditaulukko) määritetään sopivasti. PIstä googleen vaikkapa "huffman koodaus" tai "tiedonpakkaus", niin pääset jyvälle mistä on kysymys.
Toinen asiaan liittyvä juttu on pienimmän neliösumman menetelmä (ks. google), jolla voidaan sovittaa vaikkapa polynomi johonkin annettuun (yleensä äärelliseen) lukujoukkoon.
Lukujonossa on äärettömän monta jäsentä, jotka määräävät jonon yksikäsitteisesti. Jos puhutaan lukujonon alkupäästä, niin lukujono voi jatkua äärettämän monella tavalla. Esimerkiksi seuraavat termit voivat olla kaikki nollia, jolloin saadaan näppärästi paloittain määritelty funktio. Jos taas haluaa määrittää polynomin, joka kulkee annettujen pisteiden kautta, niin kannattaa tutustua Lagrangen interpolaatiopolynomiin.
tunnettuja kokonaislukujonoja löytyy osoitteesta
http://www.research.att.com/~njas/sequences/Seis.html
nimellä "On-Line Encyclopedia of Integer Sequences".
Lagrange-polynomi saadaan tarkasti kulkemaan minkä tahansa pisteiden kautta. Tosin siitä tulee aika takkuinen jos pisteitä on paljon.
Lisäksi käytännössä jos funktion arvot ovat likiarvoja niin tulee helposti ongelmia korkean asteluvun vuoksi. Jos on vaikkapa 7 pistettä eli 6:nnen asteen Lagrange-polynomi niin sen käytös voi olla aika yllättävää niiden pisteiden _välillä_ joiden avulla polynomi on muodostettu vaikka se tuottaakin ne 7 pistettä tarkasti. Käytännön likiarvolaskuissa en suosittelisi yli 4:nnen asteen Lagrange-polynomia.
Jos arvot ovat "matemaattisen tarkkoja", eikä likiarvoja, niin asteluku ei liene ongelma.
Toisen asteen käyrälle f(x) = x^2 kuitenkin tietysti riittää toisen asteen Lagrange-polynomi eli 3 pistettä.
Kyllä se pienimmän neliösumman sovituksella tuotettu polynomikin kulkee tasan kaikkien pisteiden kautta jos asteluku on lukujen määrä miinus 1 ja regularisointia ei käytetä. Sama juttu millä tahansa muullakin polynomilla (Lagrange, Chebysev, ...) jolla on sama asteluku tai millä tahansa muulla parametrisella käyrällä jolla on sama määrä vapaita parametreja. Mitään hyötyä tällaisesta (yli)sovituksesta ei ole kyllä kenellekään.
Ja mitä se pns tekee jos on vaikkapa 10 pistettä melko karkeita likiarvoja jostakin fysikaalisesta mittauksesta (sisältävät häiriöitä, virheitä, pyöristyksiä) ja sovitetaan käyrä näiden kaikkien kautta. Asteluvuksi tulee siis 9. Sitten valitaan argumenttiarvo mainittujen pisteiden _väliltä_, siis ei mainittujen pisteiden argumentti, vaan jokin väliarvo. Tehdään uusi mittaus ko. argumentin arvolla ja verrataan polynomilla laskettuun arvoon. Mallintaako polynomi tutkittavaa ilmiötä, vaiko sen virheitä?