Olkoot {p_i}_i in I kokoelma erisuuria reaalilukuja. Määritellään funktio f(x) = sum_i in I |x-p_i|. Voidaan olettaa |I| parittomaksi eli summassa on pariton määrä termejä. Nyt f(x):n maksimi on x=med({p_i}) eli mediaani luvuista {p_i}, mutta miten tuo todistetaan?
maksimia mä metsästän
maximilus
4159
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 4
Vanhimmat
Tuo funktio f kertoo x:n etäisyyksien summan muista luvuista p_i. Joten f ei ole maksimia
esim. p_1=1 ja I={1}, nyt f(x)=|x-1|, jolla ei ole maksimia mutta kylläkin minimi eli f(1)=0.
Muodosta paloittain määritelty funktio, ja tutki sen derivaattoja
Oleta merkinnät valituksi siis p1mediaani
Eli minimi löytyy kun x=mediaani.
Näkäjään ei hyväksy pienempi ja suurempi kuin merkkejä, jippii!!! < >
Joo, tietysti minimi. Mistähän moinen kämmähdys tuli.
Tuo paloittain määrittely taitaa tosiaan poistaa derivaatan kanssa tulevat ongelmat. Pitääpä tutkia sitä polkua tarkemmin.
Intuitiivisesti on helpohko keksiä minimi, mutta tarkka todistaminen olikin hankalampi juttu derivaatan käyttäytymisen takia.
Yksi tapa voisi olla muodostaan tehtävän jatkuva vastine. Jos ajatellaan, että nuo luvut p_i on järjestetty
suuruusjärjestykseen ja että luvut ovat ei-negatiivisia, tuon jatkuva ja sopivasti redusoitu versio on joku tällainen: Olkoon välillä [0,1] annettuna monotonisesti kasvava ei-negatiivinen funktio g(y), jolle pätee g(0) = 0. Tehtävänä on määrittää tämän funktion minimi:
f(x) = int_0^1 |x-g(y)| dy
ja vastaus varmaan pitäisi olla x s.e. G(x) = G(1) - G(x), jossa G on g:n integraalifunktio.