KAhden ympyrän yhteisten tangenttien yhtälöt

Keskipistemuodossa yhtälösi ovat siis muotoa

f1(x,y) = (x-x1)^2 (y-y1)^2 = r1^2
f2(x,y) = (x-x2)^2 (y-y2)^2 = r2^2

Suoran taas voi esittää tällaisessa parametrisessa muodossa

s(t) = (x0 a0*t,y0 b0*t)

Sovitaan, että t on skaalattu niin, että ympyrän 1 sivuamispiste saadaan arvolla t=0 ja ympyrän 2 sivuamispiste arvolla t=1. Koska nämä toteuttavat ympyröiden yhtälöt, saadaan

(x0-x1)^2 (y0-y1)^2 = r1^2
(x0 a0-x2)^2 (y0 b0-y2)^2 = r2^2

Ympyröiden normaalit näissä kohdissa saadaan gradienteista:

g1(x,y) = (2 (x-x1), 2 (y-y1))
g2(x,y) = (2 (x-x2), 2 (y-y2))

ja koska näiden pitää olla kohtisuorassa suoraa vasten, eli gradienttien pistetulojen suoran tangentin (a0,b0) kanssa pitää olla nolla, nimenomaan leikkauskohdissa:

2 (x0-x1) a0 2 (y0-y1) b0 = 0
2 (x0 a0-x2) a0 2 (y0 b0-y2) b0 = 0

Nyt sinulla on 4 yhtälöä ja neljä tuntematonta x0,y0,a0,b0 jotka voidaan ratkaisuta perusalgebralla.

Käytetään yhdenmuotoisia kolmioita. Olkoon

L ympyröiden keskipisteiden etäisyys.
r1 ja r2 ympyröiden säteet ja r1 < r2.
x on ulkotangenttien leikkauspisteen etäisyys pienemmän ympyrän keskipisteestä.

Yhdenmuotoisista kolmioista saadaan (x L) / x = r1 / r2. Jos ympyröiden keskipisteitä yhdistävä suora sattuu olemaan koordinaattiakselin suuntainen, niin ulkotangenttien leikkauspiste saadaan helposti. Yleisessä tapauksessa tarvitaan enemmän ruumiillista työtä (kierto).

Kun nyt tunnetaan ulkotangenttien leikkauspiste, palautuu probleema tästä pisteestä pienemmälle ympyrälle piirrettyjen tangenttien määräämiseen. Tangenttien muodostama kulma saadaan sivuamispisteessä olevasta suorakulmaisesta kolmiosta, tai voidaan käyttää tunnettua diskriminanttitemppua.