Elikkä tehtävä olisi seuraavanlainen
Etsi ääriarvot positiivisten lukujen x, y ja z
(a) tulolle, kun x y z = 1 ja
(b) summalle, kun x y z = 1.
Etsi ääriarvot positiivisten lukujen x, y ja z
(a) tulolle, kun x y z = 1 ja
(b) summalle, kun x y z = 1.
Osaisiko joku auttaa
apuva_
7269
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 7
Vanhimmat
Kirjota tuo funktio f(x,y,z) käyttäen hyväksi annettua sidosehtoa (poistat yhden muuttujan joka ei ole riippumaton kahdesta muusta) muotoon f(x,y,z(x,y)) ja sitten lasket funktion derivaatat (esim x:n ja y:n suhteen).
Eli a-kohdassa esimerkiksi f = xyz = xy(1-x-y) ja tuota sitten lähdet derivoimaan. Vastauksen tulkitseminen voi olla vähän vaikeaa, kannattaa miettiä ihan maalaisjärjellä että mistä luulisit ääriarvojen löytyvän.
Tehtävään a) liittyvä Lagrangen funktio on
L = xyz - k*(x y z - 1), missä k on Lagrangen kertoja.
Haetussa ääriarvokohdassa oikea termi on 0. Muodostetaan funktion L osittaisderivaatat x, y ja z suhteen.
DxL = yz - k = 0 => k = yz
DyL = xz - k = 0 => k = xz
DzL = xy - k = 0 => k = xy
Koska k = yz ja k = xz, niin yz = xz, mistä saadaan, että x = y (kun z != 0). Samalla tavalla saadaan, että y = z. Siis x = y = z . Koska x y z = 1, niin x = y = z = 1/3, jolloin xyz = 1/27.
Kohta b) menee samantapaisilla tempuilla. Saadaan sama tulos x = y = z.
Erikseen pitäisi selvittää, miten käy kun x, y tai z = 0.
Miksi ehto x=0 tai y=0 tai z=0 pitäisi selvittää?
Tehtävän annon ehto oli että x,y,z>0
Koska toinen ääriarvo saadaan rajalla jossa joku muuttuja lähestyy nollaa.
Ei ole toista ääriarvoa jos raja ei kuulu annettuun joukkoon.
Mutta jos etsitään joukossa suurinta tai pienintä arvoa (eikä vain ääriarvoa)
niin rajalla käy siten että suurinta tai pienintä arvoa ei ole, mutta sen sijaan
pienin yläraja (supremum) tai suurin alaraja (infimum) usein on.
Tehtävä ratkeaa näppärästi vaikkapa käyttäen aritmeettiseen ja geometriseen keskiarvoon liittyvää AM-GM-epäyhtälöä.
Ks.
http://fi.wikipedia.org/wiki/Aritmeettis-geometrinen_epäyhtälö
Jos kuitenkaan AM-GM-epäyhtälön käyttöä ei sallita, sen todistuksesta löytyy vihjeitä tehtävän ratkaisemiseen.
Itsekin mietin tuota ratkaisua, mutta en keksinyt, miten epäyhtälön toisen suunnan saisi sillä.