Hei!
Olen pyöritellyt vähän aikaa tällaista yhtälöä
x^3 = 6 x
x^3 - x = 6
x ( x^2 - 1) = 6
x (x - 1) (x 1) = 6
(x - 1) x (x 1) = 6 // nähdään, että kyseessä on lukusuoran kolme peräkkäistä lukua, joiden väli on yksi.
Onko tästä mahdollista ratkaista kaikki mahdolliset juuret?
Alkup. tehtävä kuului: Määritä piste, jossa f(x) = (kuutiojuuri)(x 6) ja sen käänteisfunktio leikkaavat
Luonnollisesti se on piste, jossa x = y (käänteisfunktiot peilautuvat tätä suoraa vasten, ja näin ollen kaikki yhteiset pisteet sijaitsevat tällä suoralla). Käänteisfunktio on f^-1(x) = x^3 - 6
Olen pyöritellyt vähän aikaa tällaista yhtälöä
x^3 = 6 x
x^3 - x = 6
x ( x^2 - 1) = 6
x (x - 1) (x 1) = 6
(x - 1) x (x 1) = 6 // nähdään, että kyseessä on lukusuoran kolme peräkkäistä lukua, joiden väli on yksi.
Onko tästä mahdollista ratkaista kaikki mahdolliset juuret?
Alkup. tehtävä kuului: Määritä piste, jossa f(x) = (kuutiojuuri)(x 6) ja sen käänteisfunktio leikkaavat
Luonnollisesti se on piste, jossa x = y (käänteisfunktiot peilautuvat tätä suoraa vasten, ja näin ollen kaikki yhteiset pisteet sijaitsevat tällä suoralla). Käänteisfunktio on f^-1(x) = x^3 - 6
Vastaukset 4
Vanhimmat
Miten saat ehdokkaat rationaalisille nollakohdille?!? (eräs niistä on ratkaisu) Sen jälkeen voit hajoittaa tuon toisen asteen ja ensimmäisen asteen tekijöihin, jonka jälkeen riittää kun selvität toisen asteen tekijän nollakohdat!
Tuota rationaalinollakohtien määräämistä kokonaislukukertoimiselle polynomille ei välttämättä enää opeteta. Joten rationaalinollakohdat ovat muotoa m/n, missä m jakaa polynomin vakiotermin ja n korkeimman asteen termin kertoimen (myös ne. luvut käyvät.).
Siis esim. polynomin x^3-x 6 rationaalinollakohdat löytyvät joukosta -1, -2, -3. (nimittäjä n on yksi aina koska johtavakerroin on yksi.) Silmällä jo näkee, että -2 kelpaa.
Kun piirtää kyseisen käyrän, niin siitä havaitsee, että polynomilla on vain yksi reaalinen juuri. Saman voi tietysti analyyttisestikin osoittaa kolmannen asteen polynomin ominaisuuksien avulla.
Sinun siis pitää ratkaista yhtälö x^3-x-6 = 0
Kuten tuossa aiemmin mainittiin, joku nollakohta löytyy joukosta -1, -2, -3. On helppoa kokeilla, että 2 käy. x^3-x-6 on siis jaollinen x-2 :lla.
Siispä jaetaan tekijöihin. Kun vakiotermien tulon tiedetään olevan -6. Ainoastaan ensimmäisen asteen termin kerroin pitää keksiä/kokeilla. Varsin helposti siis saadaan:
x^3-x-6 = (x-2)(x^2 2x 3) = 0
Tuolla toisen asteen termillä x^2 2x 3 taas ei rationaalisia nollakohtia ole, joten 2 oli ainoa rationaalinen juuri.