Nyt olisi ongelma seuraavan epäyhtälön kanssa. Oletetaan että u(x,t) on seuraavan osittaisdifferentiaaliyhtälön ratkaisu:
u_t f(u)_x = 0 , missä f on konveksi
Oletetaan lisäksi että u toteuttaa
u(x z,t)-u(x,t) 0 ja z > 0 jollain vakiolla C
Olisi osoitettava että tässä tapauksessa
d/dt|u-c| d/dx( sign(u-c)( f(u) -f(c) )
u_t f(u)_x = 0 , missä f on konveksi
Oletetaan lisäksi että u toteuttaa
u(x z,t)-u(x,t) 0 ja z > 0 jollain vakiolla C
Olisi osoitettava että tässä tapauksessa
d/dt|u-c| d/dx( sign(u-c)( f(u) -f(c) )
Vastaukset 3
Vanhimmat
Mikä toi C on kun sitä ei käytetä missään?
C on siis jokin vakio, vrt. esim Lipschitz-jatkuvuus tms. Kyseessä ei siis ole kirjoitusvirhe. C on jokin kiinnitetty vakio ja todistettavan epäyhtälön pitää toteutua kaikilla c.
Huomasin tässä, että siellä missä u on klassinen ratkaisu, epäyhtälö toteutuu suoraan arvolla 0.
Heikon ratkaisun tapauksessa riittänee tarkastella epäjatkuvuuskäyrää x = h(t), jolloin sain epäyhtälön keploteltua muotoon
2f(c)-f(u_l) - h'(t)(c-u_l) >= 0, kun c in (u_l, u_r), missä
u_l ja u_r ovat u:n raja-arvot lähestyttäessä alueista x < h(t) ja x > h(t) ja c in (u_l, u_r). Muilla c epäyhtälö toteutuu arvolla 0.
Ideoita miten tästä eteenpäin? Tuskaisia laskuja... :(
En ihan vielä päässyt loppuun saakka, mutta muistamalla, että |x| = sign(x) x, sekä että rajalla a --> oo tanh(ax) = sign(x) sain sijoittamalla tällaisen epäyhtälön:
du/dt u du/dx f oo muotoa du/dx