Tällaista pohdiskelen:
Oletetaan että f(1/2(x y))< 1/2(f(x) f(y)), missä f on jatkuva funktio R-->R
Todista: f(ax by)
Oletetaan että f(1/2(x y))< 1/2(f(x) f(y)), missä f on jatkuva funktio R-->R
Todista: f(ax by)
vinkkejä ratkaisuun?
adbg
15237
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 15
Vanhimmat
Uudestaan:
ol: (1/2(x y))< 1/2(f(x) f(y)), missä f on jatkuva funktio R-->R
Todista: f(ax by) < af(x) bf(y), kaikilla a,b joilla a b=1 (a,b ei nolla).
Kiitos ovusta jo etukäteen!
En ihan tajua tehtävää. Ei ole olemassa jatkuvaa funktiota f, jolle ekan viestin epäyhtälö f(1/2(x y))< 1/2(f(x) f(y)) toteutuisi kaikilla reaaliluvuilla x,y. Jos nimittäin x=y, niin epäyhtälö tulee muotoon f(x)
Olen onnistunut todistamaan että kun a= 1/2^n ja b=1-1/2^n, missä n mikä tahansa luonnollinen luku, väite pätee. Ratkaisu ei selvästi kuitenkaan sisällä kaikkia sellaisia a ja b joilla a b=1.
Tää on vaikee!
Todellisuudessa merkkinä "pienempi tai yhtäsuuri", jolloin yo. ongelmaa ei tule ja tehtävässä on järkeä.
noiden puolikkaitten paikalle (a b)/2 tuossa oletuksessa, ja katso tuleeko sama epäyhtälö , ja millä lisäehdolla, kuin tuo todistettava epäyhtälö. Ja vedä siitä johtopäätös.
Sijoittamalla tässä ei ikävä kyllä pääse puusta pitkälle. Sitä itsekin ensimmäisenä kokeilin.
voi päätellä, että ainakin käänteisfunktio, siis potenssiin -1, tulee kyseeseen funktiona, koska
2/(x y)4xy, josta (x-y)^2>0
Väitös on silloin: 1/((ax) (by))
Tuosta viimeksi näkyneestä eteenpäin:
xy0
xy0
tekee takaperosesti, eli lähtee liikkeelle näin:
(x-y)^2>0
x^2-2xy y^2>0
x^2 2xy y^2-4xy>0
(x y)^2>4xy
(x y)/4xy>1/(x y)
2(x y)/4xy>2/(x y)
1/(2y) 1/(2x)>((x y)/2)^-1
((x y)/2)^-1
tietenkin todeta, että x on oltava erisuuri kuin y, mutta olen varma, että alkuperäisessä tehtävässä < merkki onkin pienempi tai yhtäsuuri
Tässä ei etsitä funktiota vaan yritetään todistaa väite kaikilla a b=1. Niin ja alkuperäisessä tehtävässä merkkinä on "pienmpi tai yhtäsuuri".
se väite siinä todistettu. En vain keksi muuta todistusta kuin ratkaista kyseinen funktio ensin.
lähtökohdasta päätyy myös toiseen potenssiin funktiona, joka on jatkuva, mitä tuo käänteisfunktio ei ole, joten sitä tässä pitäisi käyttää.
Ymmärsin nyt miksi en tajua ajatustasi, tehtävänantoon oli tullut virhe, yksi f puuttui.
Tässä oikea tehtävä:
ol: f(1/2(x y))< 1/2(f(x) f(y)), missä f on jatkuva funktio R-->R
Todista: f(ax by) < af(x) bf(y), kaikilla a,b joilla a b=1 (a,b ei nolla).
Parempi varmaan aloittaa uusi topicci