Tehtävä:
ol: f(1/2(x y))< 1/2(f(x) f(y)), missä f on jatkuva funktio R-->R
Todista: f(ax by) < af(x) bf(y), kaikilla a,b joilla a b=1 (a,b ei nolla).
Tää on vaikea! En pääse millään ratkaisuu.
ol: f(1/2(x y))< 1/2(f(x) f(y)), missä f on jatkuva funktio R-->R
Todista: f(ax by) < af(x) bf(y), kaikilla a,b joilla a b=1 (a,b ei nolla).
Tää on vaikea! En pääse millään ratkaisuu.
Vastaukset 20
Vanhimmat
merkkinä todellisuudessa "pienempi tai yhtäpieni".
Se yhtäsuuruus on se, jota "lähestytään"...
Kaikki funktiot EIVÄT ole kuvatunlaisia, se on syytä muistaa...
Mutta JOS yhteenlasku voidaan eriyttää, myös vakiolla kertominen voidaan varmasti eriyttää
esim a=2
F(af(x)= F(f(x) f(x))
f(x) = g = x ja y(x) = g = y
Jolloin tulee seuraavassa vaiheessa yhtälön todistus, tosin nyt vain eri funktionimellä... Mutta nehän on ihan päittäin vaihdettavissa, jos kaikki samat vaihtuvat, pitää kaikki samat vaihtaa...
Yleensä kannattaa hakea vastausta funktioanalyysissä jonkin YLÄKÄSITTEEN ja varman aksiooman kautta.
Itse en tosin saanut TTY:llä vielä "funktioanalyysiä" läpi, koska en käynyt riittävässä määrin harkoissa, ja tentin pisteet jäivät hiukan uupumaan....
Siellä pitää yhteenlaskukin vielä enempi osiinsa hajottaa, vaikkapa sielläkin tehdään paljon oletuksia, esim. käytetystä 10-järjestelmän kantaluvusta.
Tässä ei voida olettaa funktion olevan "eriytyvä", mitään lisäoletuksia ei voida tehdä. Olen onnistunut todistamaan että väite pätee kaikilla a,b kun a= 1/2^n ja b=1-1/2^n, missä n kuuluu N. Tämä ei kuitenkaan sisällä kaikkia a,b joilla a b=1. Jotenkin pitäis päästä yleisemmälle tasolle.
Tämä on luultavasti yksi ja ainoa epäyhtälö maailmankaikkeudessa, jonka voi todistaa induktiolla. Normalisoimalla tilannetta voidaan olettaa, että x = 0, y = 1, f(0) = 0 ja f(1) = 1. Oletuksen nojalla siis f(1/2)
Kiitokset avusta!
Aivan tuollaisena todistus ei kylläkään toimi sillä tekemäsi normalisointi ei ole "luvallista". Lisäksi induktio ei tuollaisenaan toimi sillä n=1 (tai jokin muu) tapaus täytyisi todistaa, mikä yo. tarkoittaisi todistusta f(k/2)
Tehtävänä on siis kiinnittää ensin x < y ja todistaa sitten tuo konveksiusepäyhtälö kaikille a b = 1. Ok, myönnän, että normalisointi on sallittua vain, jos f(x) > f(y). Silloin
t --> [ f( [y - x]*t x ) - f(x) ] / (f(y) - f(x))
toteuttaa normalisoidut oletukset välillä 0
Tuli vielä mieleeni, että tuon todistuksessani tarvitun 'f(x) < f(y)' -lisäehdon voi myös aina olettaa: jos nimittäin f(x) >= f(y), voit todistaa väitteen ensin kuvaukselle
g(t) := f(t) Ax, missä A > [ f(x) - f(y) ] / (y - x).
Huomaa, että tällöin g(x) < g(y), mutta muut oletukset toimivat edelleen.
hei taas!
Se että löydetään kolme k:ta jotka toteuttavat f(r)
Vielä viimeinen vastaus tähän ketjuun. Induktiolla _luvun n suhteen_ halutaan siis todistaa seuraava väite:
'Kaikilla muotoa r = k/2^n olevilla rationaaliluvuilla, missä 0
Käyn tehtävän kimppuun työpäivän jälkeen. Kiitos kun jaksoit vääntää rautalangasta! Tehtävä on yliopiston analyysin harjoitustehtävä. Analyysin kurssit tuli käytyä vuosia sitten joten taidot vähän ruosteessa. Eiköhän tämä kuitenkin näillä neuvoilla hoidu. Kiitos vielä kerran.
Pojat,pojat alkääpäs vielä juhliko. NB: llä tullut pieni virhe.
välillä 0
itsekin tuota aiemmassa viestissäni kummasteli, NB:n varmuus teki kuitenkin vaikutuksen.
Omassa ratkaisuyrityksessäni olen jaan väliä [x,y] asettamalla
x_n= x (y-x)*k/2^n
josta saadaan x_n=1/2(x x_{n-1})
ja toisaalta x_n= (1-k/2^n)x (k/2^n)y
Nyt kun käytetään oletusta ja yo. tietoja saadaan pikku pyörityksellä:
f(x_n)=f((1-k/2^n)x (k/2^n)y)
tulipas paljon typoja tekstiin.
Sorry, olen tainnut unohtaa mainita, että k on tietysti _kokonaisluku_ (olen niin tottunut yleiseen konventioon, että k,l,m ja n merkkaavat kokonaislukuja, p ja q rationaalilukuja, r,s ja t reaalilukuja ja u,v,w ja z imaginaarilukuja). Siten _kokonaislukuja_ k välillä 0
Ehkä nyt vain sotken teidän keskustelua mutta eikös r voi olla myös irrationaalinen, koska kuvaus on R-->R. Tällöin g(a*0 b*1) = g(b)
Esimerkki a=sqrt2 ja b=1-sqrt2 oli huono. Jos tassäs sallitaan myös a
Ensinnäkään väitettä f(r)
Mahtavaa! Nyt sain ideastasi kiinni.
Kiitos Mausia ja erityisesti NB! Uskon että todistus on nyt kasassa. Kirjoitan sen vielä myöhemmin kokonaisuudessaan kommentoitavaksi, jos vaikka löytyisi vielä jotain ongelmia.