Semmonen laskukaava pitäisi saada, jolla voi laskea missä kohdissa koordinaatistossa olevien ympyröiden kehät kohtaavat.
esim. ensimmäisen ympyrän origo on kohdassa (0,0) ja sen säde on 10.
toisen ympyrän origo on kohdassa (13,7) ja sen säde 7.
Missä pisteissä kehät kohtaavat?
Tarvisin yleispätevän kaavan, en pisteitä esimerkki kysymykseen.
Olen itse koittanut tätä jo viikon verran pähkäillä mutta ei riitä järki tällä päin.
esim. ensimmäisen ympyrän origo on kohdassa (0,0) ja sen säde on 10.
toisen ympyrän origo on kohdassa (13,7) ja sen säde 7.
Missä pisteissä kehät kohtaavat?
Tarvisin yleispätevän kaavan, en pisteitä esimerkki kysymykseen.
Olen itse koittanut tätä jo viikon verran pähkäillä mutta ei riitä järki tällä päin.
Vastaukset 21
Vanhimmat
En tiedä asiasta mitään, mutta pähkäilen tähän silti :)
Kuvitellaan että pallot ovat saman kokoisia halkaisijaltaan, olkoon vaikka tuo 10, ja samalla y-akselilla, vain paikka x-akselilla on eri.
Tällöin on olemassa kaksi ääritilannetta:
Jos ympyrät ovat samankokoisia ja vierekkäin, niin silloinhan ympyröiden keskipisteet ovat 2x ympyrän säteen etäisyydellä toisistaan. Tällöin voidaan sanoa että kohtauspisteet ovat (10, 0) ja (10, -0), eli käytännössä yksi ratkaisu x-akselilla.
Vastaavasti jos ympyrät ovat päällekkäin origossa (sisäkkäin siis) niin ratkaisuja on toki ääretön, mutta voidaan myös sanoa että ratkaisut ovat (0, 10) ja (0, -10).
Pallojen etäisyyden vaihdellessä tässä välillä, koordinaatit pitäisi jollain sini/cosini lauseella siitä saada.
Vastaavasti jos pallot eivät ole samalla y-tasolla, vaan toinen ylempänä (toinen on aina origossa, eli molempia palloja siirretään koordinaatistossa saman verran että tähän päästään), niin laskeminen pitäis silti onnistua helposti. Etäisyys saadaan pythagoralla pallojen koordinaattien erotuksesta, ja siitä saadaan x:t ja y:t yllä olevan esimerkin mukaan. Koordinaateista saadaan myös kulma, jonka koordinaatit eri tasolla x-akseliin nähden muodostavat. Tuon kulma-asteen verran sitten käännetään pelkän etäisyyden perusteella laskettuja koordinaatteja origon ympäri. Lopuksi lisätään koordinaatteja alussa origoon siirtämisen verran takaisin.
Sitten jos pallot ovat erikokoisia niin se varmasti mutkistaa laskuja hieman, mutta laittamalla pallot samalla x-akselille vierekkäin, ja lisäpähkäilyllä ja kokeilemalla voi sekin ratketa?
Tosiaan, en tiedä asiasta mitään, kunhan pähkäilen omaksi iloksi ja kaavaa ei tosiaan ole tarjota, kun en tätä ole kokeillut. Itse tosin laskisin vaiheittain jollain ohjelmointikielellä joten en tuota yhdeksi kaavaksi muotoilisi muutenkaan.
että viikko on mennyt
http://www50.wolframalpha.com/input/?i=(x-a)^2 (y-b)^2=r^2 , (x-c)^2 (y-d)^2=R^2&incTime=true
Oliko tässä oikea kaava? Näytti niin epäselvältä tuo linkki...
http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve {(x-a)^2 (y-b)^2=r^2 , (x-c)^2 (y-d)^2=R^2} for {x,y}&incParTime=true
ite saan tuolla kaavalla vääriä vastauksia...
esim.
ympyrä1: keskipiste(1.0, 1.0) ja säde1.0
ympyrä2: keskipiste(2.0, 2.0) ja säde 2.0
niin saan leikkauspisteeksi (4.73205, 1.26795 )
Niin Wolfram Alpha kuten eräs muukin symbolimatematiikkaohjelmisto tuottavat saman tuloksen yhtälöiden ratkaisuihin sijoituksilla eli {x = 0.8856217200e-1, y = 1.411437828}, {x = 1.411437828, y = 0.8856217225e-1}.
miten noita Wolfram Alphan antamia kaavoja pitäs tulkita?
Miksi se antaa niin monta kaavaa x:lle ja y:lle? ja mitä ne and ehdot tarkoittaa
Mikähän mahtaa olla sellaisen ympyrän yhtälö, jonka keskipiste on (x1, y1) ja säde R1? Entä jos olisikin (x2, y2) ja R2? Mikä ehto on ympyröiden leikkauspisteillä?
Ympyröiden yhtälöt:
(x-x1)^2 (y-x1)^2 = R1 ja
(x-x2)^2 (y-y2)^2 = R2
Ehto, että leikkaavat:
(x1-x2)^2 (y1-y2)^2
Ympyröiden yhtälöt:
(x-x1)^2 (y-y1)^2 = R1 ja
(x-x2)^2 (y-y2)^2 = R2
Ehto, että leikkaavat:
(x1-x2)^2 (y1-y2)^2
Joo tämä näyttää ihan ymmärrettävältä.
pitäskö tuossa yhtälöparissa vielä säteetkin laittaa potenssiin 2 eli
(x-x1)^2 (y-y1)^2 = R1^2 ja
(x-x2)^2 (y-y2)^2 = R2^2
Nyt yhtälöt ovat oikein. Tosin niistä ratkaisujen veivaaminen käsin vaatii melko hyvän laskurutiinin, jollainen on valitettavan harvoilla.
Niin tarvittais parempaa laskurutiinia. Itellä tökkää tähän kun koitan ensimmäistä yhtälöä ratkasta x:n suhteen:
(x-x1)^2 (y-y1)^2 = R1^2
x^2 - 2x*x1 x1^2 y^2 - 2y*y1 y1^2 = R1^2
x^2 - 2x*x1 x1^2 = R1^2 - y^2 2y*y1 - y1^2
x^2 - 2x*x1 = R1^2 - y^2 2y*y1 - y1^2 - x1^2
voiko tuon tekijän 2x*x1 hajottaa niin että x1 menis toiselle puolelle?
Näihän sen x:n voi ratkaista:
(x-x1)^2 (y-y1)^2 = R1^2
(x-x1)^2 = R1^2 - (y-y1)^2
(x-x1) = - sqrt(R1^2 - (y-y1)^2)
x = x1 - sqrt(R1^2 - (y-y1)^2)
Helpommalla voisi päästä jos tekisi aluksi muuttujanvaihdon niin, että yhtälöt muuttuvat tällaisiksi:
x^2 y^2 = 1
(x-x0)^2 (y-y0)^2 = R^2
Jolloin x = - sqrt(1 - y^2). Sitten sijoitetaan:
(1-y^2) - 2 sqrt(1-y^2) x0 x0^2 y^2 - 2 y y0 y0^2 = R^2
- 2 sqrt(1-y^2) x0 = - 2 y y0 (R^2 - 1 - y0^2 - x0^2)
4 (1-y^2) x0^2 = 4 y^2 y0^2 - 4 y y0 (R^2 - 1 - y0^2 - x0^2) (R^2 - 1 - y0^2 - x0^2)^2
4 (x0^2 y0^2) y^2 - 4 y y0 (R^2 - 1 - y0^2 - x0^2) (R^2 - 1 - y0^2 - x0^2)^2 - 4 x0^2 = 0
joka onkin jo toisen asteen yhtälö y:lle. Loput, sekä yksityiskohtien tarkistus jätetään harjoitustehtäväksi.
siirtää koordinaatiston ensin eka ympyrän keskipisteeseen, ja sitten lopussa takaisin ?
Jos sen eka ympyrän kp =(a,b) ja säde R, niin kp- muodossa ympyrän yhtälö: (x-a)^2 (y-b)^2=R^2
Koordinaatisto siirretään tuon keskelle, eli lisätään x:ään a, ja y:hyn b, ja yhtälö on x^2 y^2=R^2
Toka ympyrän yhtälöön, jonka kp on (c,d) ja säde r, lisätään myös samat, jolloin tulee
(x a-c)^2 (y b-d)^2=r^2.
Merkitään vielä, että a-c=k ja b-d=m, jolloin tulee yhtälöpari:
x^2 y^2=R^2
(x k)^2 (y m)^2=r^2 . Ylemmästä tulee: x^2=R^2-y^2=> x= -(R^2-y^2), ja alempaan sijoittamalla.
R^2 -2k*sqrt(R^2-y^2) k^2 2ym m^2-r^2=0. Merkitään vielä: n=r^2-R^2-k^2-m^2, niin tulee:
-2k*sqrt(R^2-y^2)=n-2ym.
Toiseen korottamalla tulee toisen asteen yhtälö: y^2(m^2 k^2)-mny-((n^2/4)-(k^2R^2))=0
Ei tuo enää mahdoton ratkaista ole kun nuo vakiot: k, m, n, R ja r ovat kerran tiedossa.
Saadun y:n avulla ratkaistaan x, ja palautetaan x ja y alkuperäiseen koordinaatistoon vähentämällä niistä a ja b. Tulokset kun tarkistaa ja varmistaa piirtämällä kuvaa, niin ratkeaa jos ratkeaa.
on ainakin pari: x= -sqrt(R^2-y^2) , ja tuo toisen asteen yhtälö: py^2-mny s=0, jossa
p=m^2 k^2 , ja s= (n^2/4)-(kR)^2, ja tuosta tulee: 2py=mn -sqrt((mn)^2-4ps)
Kun palataan alkuperäiseen koordinaatistoon, niin a ja b on silloinkin lisättävä saatuihin x:ään ja y:hyn, ainakin koordinaatiston ekassa neljänneksessä.
Otetaas esimerkki.
Ympyrät: eka kp=(2,1) ja säde 1. Toka kp=(4,2) ja säde 2.
a=2 c=4
b=1 d=2
R=1 r=2
k=a-c=-2
m=b-d=-1
n=r^2-R^2-k^2-m^2=4-1-4-1= -2
p=m^2 k^2=1 4=5
s=(4/4)-4= -3
py^2-mny s=0=>2py=mn -sqrt((mn)^2-4ps)
10y=2 -sqrt(4 60)=2 -8, josta y=1, tai –3/5
Vastaavat x:t (x= -sqrt(R^2-y^2), kun y=1, niin x=0 , ja kun y=-3/5, niin x= -4/5
Ja palauttamalla alkuperäiseen koordinaatistoon: X=0 a=2 ja Y=1 b=2, sekä
X=4/5 2=14/5 ja Y=-3/5 1=2/5. ( Jos x=-4/5, niin X=2-4/5=6/5, joka ei käy.)
Leikkauspisteet ovat siis: (2,2) ja (14/5 , 2/5),( jotka voidaan kuvastakin todeta), joten näin saadaan leikkauspisteet, siis ainakin ekassa neljänneksessä.
Nyt on probleema ratkaistu. Kiitti tosi paljon kaikille kun autoitta, varsinkin sulle siinävois.
Tuoki wolfram alpha on jännä kone pitää joskus tutustua ja opetella käyttämään.
Sinun pitää määrittää ympyröillesi funktiot, vaikkapa f(x) kuvaamaan ensimmäisen ympyrän kaaren pisteet ja g(x) toisen. Tiedät varmaankin, että: (y-y_0)² (x-x_0)² = r²? Tästä saat yleisen funktion ympyrälle kuin ympyrälle, johon voi sitten sijoittaa kulloinkin mielenkiinnon kohteena olevan ympyrän parametrit.
No koska ympyrät kohtaavat? Mitä kohtaaminen on? Sitä, että ne ovat samassa pisteessä, joten f(x) = g(x). Yhtälöstä voit ratkaista leikkauspisteet. Tähän ratkaistuun muotoon voit myöskin sijoittaa aina uusien ympyröiden parametrit, joten se on kaipaamasi yleispätevä kaava.
Mitähän uutta tässä nyt sitten oli?!? (siis tähän viestiketjuun)
Hyvin jäsennelty ja perusteltu vastaus muiden vastaavan ongelman kanssa painivien avuksi. Rautalankaa ei tunnu koskaan voivan olla tarpeeksi.