Hei!
Kaupungilla liikkuu villi huhu, että lineaarinen (ensimmäisen kertaluvun?) differentiaaliyhtälö voidaan ratkaista s.e. se jaetaan homogeenisen yhtälön yleiseen ratkaisuun, sekä epähomogeenisen yhtälön yksittäisratkaisuun (tjsp). Mistä tämä johtuu?
Kaupungilla liikkuu villi huhu, että lineaarinen (ensimmäisen kertaluvun?) differentiaaliyhtälö voidaan ratkaista s.e. se jaetaan homogeenisen yhtälön yleiseen ratkaisuun, sekä epähomogeenisen yhtälön yksittäisratkaisuun (tjsp). Mistä tämä johtuu?
Vastaukset 6
Vanhimmat
että se menee väkisinkin niin.
Diff.yhtälö: y' p(x)y=q(x)
jos tuon ratkaisu on y=u(x)v(x), niin silloin
y'=u'v uv' ja sijoittamalla u'v uv' p(x)uv=q(x), eli
u'v u(v' p(x)v)=q(x). Tämä toteutuu, jos
v' p(x)v=0, josta v on homogeenisen ratkaisu v, ja
u'v=q(x), eli du/dx=q(x)/v, josta du=(q(x)/v)dx, tästä yksityisratkaisu u, ja y=uv
Jos tehtävänä on osoittaa, että y = yh y1 on kaikkien ratkaisujen joukko, niin
1) osoita että y toteuttaa diff.yhtälön
2) osoita että mikä tahansa ratkaisu kuuluu joukkoon y.
Tässä yh on homogeenisen yhtälön ratkaisu ja y1 yksitt.ratk.
1) (yh y1)' p(yh y1) = (yh' p*yh) (y1' p*y1) = 0 q = q
2) Olkoon y2 eräs ratkaisu, eli y2' p*y2 = q. Toisaalta myös y1' p*y1 = q. Vähentämällä puolittain saadaan
y2' - y1' p*y2 - p*y1 = 0
⇔ (y2 - y1)' p(y2 - y1) = 0
eli y2 - y1 ∈ yh ≡ y2 ∈ yh y1 = y.
Tämä on nyt kyllä joku variaatio integroivan tekijän menetelmästä, vakion varioinnista tai jotain eikä se perus homogeenisen ja erityisratkaisun menetelmä. Olkoon yhtälö y' p(x)y=q(x), jolloin vastaava homogeeninen yhtälö on
y' p(x)y=0
Sovitaan, että tällä on yleinen ratkaisu yh(x). Olkoon ye(x) joku yh(x):stä riippumaton erityisratkaisu epähomogeeniseen yhtälöön y' p(x)y=q(x). Silloin jos y = yh ye, saadaan
(yh ye)' p(x) (yh ye) = q(x)
yh' p(x) yh' ye' p(x) ye = q(x)
Nyt yh' p(x) yh' = 0, koska yh oli homogeenisen yhtälön ratkaisu, jolloin jää vain
ye' p(x) ye = q(x)
joka taas toteutuu, koska ye on erikoisratkaisu koko yhtälöön. Eli yh ye toteuttaa koko yhtälön!
Kaupungilla liikkuu myös huhu, että ei lineaarisia diffisyhtälöitä oikeasti näin kannata ratkoa, koska integroivan tekijän menetelmä antaa suoraan ratkaisukaavan yleiselle lineaariselle yhtälölle. Se toimii myös korkeamman kertaluvun lineaarisille yhtälöille.
Se menee kokolailla suoraviivaisesti. Otetaan esimerkki:
y´-2y/x=x^2cos3x
y=uv=>y´=u´v uv´ , ja sijoittamalla: u´v v´u-2uv/x=x^2cos3x
u´v u(v´-2v/x)=x^2cos3x
v´-2v/x=0 Tämä on se homogeeninen yhtälö, ja siitä tulee: dv/v=2dx/x=>lnv=lnx^2,
joten v=x^2
u´v=x^2cos3x Tämä on se epähomogeeninen, ja siitä tulee: u´=x^2cos3x/x^2=>
u=1/3sin3x C, ja koko ratkaisu y=uv=x^2(1/3sin3x C)=Cx^2 1/3sin3x*x^2
Nyt ei siis ollut homogeenisen ja epähomogeenisen summa, vaan tulo
Homogeenisen yhtälön ratkaisu on Cx² ja yksittäisratkaisu (1/3)x²sin(3x), jolloin summaaminen edelleen pätee.
Tuo näyttää kyllä vakion variointi -nimiseltä menetelmältä, jossa ideana on ensin ratkaista homogeeninen yhtälö
v' p(x)v=0
jonka ratkaisu on v=c f(x), jossa c on vakio. Sitten oletetaan c riippumaan parametrista x ja sijoitetaan epähomogeeniseen yhtälöön:
c' f c f' p(x) c f = q(x)
c' f c (f' p(x) f) = q(x)
c' f = q(x)
c = int q(x)/f(x) dx
Tuo homogeeni/eihomogeeni-menetelmä on eri asia. Samoin kuin integroivan tekijän menetelmä. Vaikka toki kaikki tuottavat saman vastauksen,