Törmäsin seuraavaan klassisen mekaniikan oppimateriaaliin ja luin sitä kiinnostuneena. Nyt järkeni tyssäsi kun yritin tajuta miten tuo rakettiyhtälö oikein muodostuu.
Tässä pdf-dokumentti:
http://theory.physics.helsinki.fi/~klmek/2010_01.pdf
sivulla 9 on tuo rakettiyhtälö. Siinä on käytetty u-vektoria ilmeisesti pakokaasun nopeutena laukaisualustaan nähden. Mutta eikö u pienene jatkuvasti? Mielestäni se voi mennä nollaankin ja jopa negatiiviseksi eli jossain vaiheessa pakokaasu näyttää nousevan ylöspäin heti raketin "suuttimesta" poistuttuaan. Jos näin on niin miten voidaan sanoa että "raketin liikemäärän muutos on dp = dm u" ? Jos u on nolla niin raketti ei siis tuon mukaan saa ollenkaan liikemäärää, ja kun u osoittaa ylöspäin niin raketti saisi liikemäärää laukaisualustaan päin eli alkaisi pudota ..... ?
Olen nähnyt rakettiyhtälön johtamisen muualla eri tavalla jonka olen ymmärtänyt mutta tämä on vaikea ...
osaisiko joku avata tämän minulle?
Tässä pdf-dokumentti:
http://theory.physics.helsinki.fi/~klmek/2010_01.pdf
sivulla 9 on tuo rakettiyhtälö. Siinä on käytetty u-vektoria ilmeisesti pakokaasun nopeutena laukaisualustaan nähden. Mutta eikö u pienene jatkuvasti? Mielestäni se voi mennä nollaankin ja jopa negatiiviseksi eli jossain vaiheessa pakokaasu näyttää nousevan ylöspäin heti raketin "suuttimesta" poistuttuaan. Jos näin on niin miten voidaan sanoa että "raketin liikemäärän muutos on dp = dm u" ? Jos u on nolla niin raketti ei siis tuon mukaan saa ollenkaan liikemäärää, ja kun u osoittaa ylöspäin niin raketti saisi liikemäärää laukaisualustaan päin eli alkaisi pudota ..... ?
Olen nähnyt rakettiyhtälön johtamisen muualla eri tavalla jonka olen ymmärtänyt mutta tämä on vaikea ...
osaisiko joku avata tämän minulle?
Vastaukset 39
Vanhimmat
Raketti siis saavutettuaan tuon 'mystisen' nollakohdan ei pysty enää nousemaan vaan joko jää lillumaan paikoilleen tai u:n mennessä ns. negatiivisen puolelle raketin suunta kääntyy laskuun... Eli jonkin suhde johonkin aiheuttaa tämän ilmiön. Miksi? Ja mikä on tuo mystinen nollakohta? Tai miksi se on ko. nollakohta? Kuvitellaan avaruutta ja sen rakennetta... tuo painovoimakin ja ns. painottomuus suhteessa johonkin... Tähän tuodaan mukaan valonnopeus 'ääriarvona'. Mitä ajatuksia tämä herättää?
Minulle tulee mieleeni, että aihe on varsin kiehtova ja lähden siihen etsimään palikoita.... harmi vain kun nuo kaavat ovat mysteeri itselleni, enkä osaa niitä tulkita kunnolla, jotta ymmärtäisin taas fysiikan näkemystä asiasta enemmän.
Että nopeus on raketin eikä laukaisualustan suhteen, jolloin impulssi - tai liikemääräyhtälöt pelaa kuten pitääkin.
siinä lukee että c on kaasun nopeus raketin suhteen, eli se nopeus jolla raketin kyydissä olija näkee pakokaasun poistuvan. Ja jos v on raketin nopeus niin u:n on välttämättä oltava kaasun nopeus lähtöalustan suhteen.
Siinä on virhe
Vaikka se nopeus olisi raketin suhteen, mitä se muuttaisi?
Eli esim. koordinaatistosta ns. toiseen siirryttäessä, väliin jää aina ns. nollakohta.... ymmärtääköhän taas kukaan mitä tarkoitan? Kuten tuo samainen nolla ja ääretön jo kaavoissa jotka mahdollistavat 'kaiken'. Eli ovat ts. asioita, jotka liitettynä matemaattisiin kaavoihin mahdollistavat lähes mitä vain, kun ehdollistamme lähtöarvoiksi jotakin, joka puolestaan aiheuttaa jotakin jne. Koordinaatistojemme jatkuva vuorovaikutus, liike.... ns. aika, joka on eri eri koordinaatistoille jo. Nolla on itsessään käsite, joka on ns. kaikkea, kuten ääretön... Eli pystymme 'luomaan' mitä tahansa niin kauan kun nuo kaksi asiaa säilyvät kaavoissammekin, joilla tätä ns. todellisuutta tutkimme... Yksi mutta tietenkin on se minne saakka ihminen itse, joka tätä kaikkea tutkii on matkailuissaan avaruuteenkin päässyt, koska siinä sijaitsee myös tietty 'nollapiste', johin tätä kaikkea vertaamme... se tyhjiökin yms. eli tällä tahdon sanoa, että ko. valonnopeuskin on siis mitattu tietyissä olosuhteissa. Ymmärtämässämme ns. tyhjiössä. Ja se missä asiat saavat miinusmerkkisen sisällön suhteessa johonkin, rajoittuu puhtaasti ihmisen aisti- ja aivorakenteeseen jo....
Eli c = u - v, u on pakokaasujen nopeus (vakio), v on raketin nopeus ja c on kaasujen nopeus maan suhteen.
Jos ammut kivvärillä liikkuvassa junassa luodin nopeus junan suhteen on aina sama, junan nopeudesta riippumatta. radan vieressä seisovan mittaajan koordinaatistossa luodin nopeus on sitten junan ja luodin nopeuden summa.
no niin minäkin ajattelen mutta kun siinä on päädytty oikeaan lopputulokseen. Vai onko se vain vahinko?
Olen nähnyt rakettiyhtälön johdon ilman vektoreiden käyttöä, ja sen ymmärsin mutta tämä on vaikea ...
määrittelit c:n kahteen kertaan ;)
eikun, hetkinen .... tässä menee pää ihan sekaisin...
minun on tunnustettava etten yhtään ymmärrä ajatuksiasi :D
Mulla on se vika, että puhun englantia suomalaiselle, tai arabiaa englantilaiselle kaiketi. Enkä itsekään aina ymmärrä tuota vastapuolen käyttämään kieltä kaikessa, täytyy myöntää :). Mutta aina jotakin... toivottavasti. En siis ole fysiikkaa varsinaisesti koskaan opiskellut, mutta yritän päästä sisälle tähänkin käsitteistömaailmaan.... pikkuhiljaa hyvä tulee. ;)
En tainnut olla aivan messissä tuossa alussa kun ketjua nopsaan luin, ja yhtä nopsaan näitä kommenttejani rustailin :). Ja totta puhuakseni vieläkin aiheen tiimoilta taidan lennellä jossain omissa sfääreissäni :) Mutta aiheessa edelleen kiehtoo syvempi ymmärrys tähänkin rakettilaskuun. Nyt uudelleen lukaistessa huomaan tuon mitä tässä tarkoititte...
Voima ja vastavoima, siihenhän tämäkin perustui. Eli niin pitkään kun polttoainetta riittää ei ole pelkoa etteikö raketti etenisi (ainakin johonkin suuntaan). Mutta miten nämä avaruuden kerrostumat sitten vaikuttavat tähän raketin moottorinkin toimintaan, ohjattavuuteen yms.? Mitä näille 'paine-eroille' tapahtuu mentäessä yhä 'syvemälle' avaruuteen? Minusta jo sinällään on varsin kiinnostavaa, että paine-erot, vaikka ne pyrkivät normaalisti saavuttamaan tasapainotilan keskenään, eivät pääse näissä avaruutemme kerrostumissa tasaantumaan. Tekijät - gravitaatio, ns. sähkömagneettiset voimat yms. jo - jotka hallitsevat niin että nämä paine-erot säilyvät korkeuksia kohti matkatessamme.
Jostain kun saisi sellaisen avaruusraketin toimintaperiaatteen pikakurssin :).
Tuo gravitaatiovakiokin taas tuossa 'ihmetyttää', miten sitä pystymme näissä laskelmissa käyttämään? Ja tätä raketinkin 'käyttäytymistä' kun ulkoiset olosuhteet muuttuvat jne. :). Kuinka pitkälle osaamme avaruutta kartoittaa?
Eli itselleni on näemmä tärkeää ymmärtää 'miksi' mitäkin. Kaikkien vaikuttavien tekijöiden summa... ja tuo aika/liike tässäkin, miten oleellisesti se jo muuttuu jne. Vaikka raketti toimisi/näyttäisi toimivan omassa koordinaatissossaan tietyllä tavalla, kuten tuo nopeus, eli laitteet joilla mittaamme tätä nopeutta ja laitteen tarkkuuteen vaikuttavat ulkoiset tekijät. Kuinka paljon häiriötä ne mahdollisesti saavat'? Nämä magneettikenttämuutokset, ja niiden vaikutukset jne.
Noh, saattoihan se taas olla omille pohdiskeluilleni hieman väärä ketju, mutta täältä vain saa oivalluksia mitä tuohon fyysiseen näkemykseeen tulee.
Eiköhän se pakokaasujen nopeus raketin suhteen ole vakio, ellei pakokaasuja synnyttävässä reaktiossa tapahdu muutoksia. Pakokaasun nopeus laukaisualustan suhteen tietysti muuttuu raketin nopeuden muuttuessa.
c on vakio, u ja v muuttuvat koko ajan. Lähtöhetkellä u=c, sen jälkeen se pienenee kohti nollaa ja lopulta alkaa osoittaa ylöspäin kun v > -c (kun vektoreina ajatellaan)
no tulihan tässäkin vastaus. Eli pakokaasu on kiinteä osa rakettia tavallaan ja näin ollen samaa... Miten tämä ns. painottomuus siis vaikutti itse nopeuteen silloin kun raketti omassa koordinaatistossaan säilyttäisi vauhtinsa muuttumattomana? Vrt. ihminen, joka leijuu tällaisessa ns. painottomassa tilassa ollen itse kuitenkin saman painoinen.
Siivoilen tässä samalla, joten paneutumiseni on niin ja näin, mutta kunhan ajan kanssa taas... ;)
pakokaasu ei tietenkään ole osa rakettia, kuten ei autonkaan pakokaasu ole osa autoa. Sen sijaan polttoaine on osa rakettia/autoa koska se kulkee mukana ja sen paino on osa kulkuneuvon painoa.
oletan nyt että tuossa on painovirhe, ja u on oikeasti vakio eli kaasun nopeus raketin suhteen, ja c on kaasun nopeus laukaisualustan suhteen. Lähden tästä laskeskelemaan suttupaperille (en ole matemaattisesti ollenkaan lahjakas :D ) ja palaan asiaan myöhemmin.
yhtälöt ovat ihan oikein ja toimivat, mutta se kuvaan liittyvä selitys kaasujen nopeuksista on painovirhepaholainen.
no c:n on ainakin oltava vakio koska se on v:n lausekkeessa siellä lopussa, ja siinä se ei voi pienentyä.
Hämäävää on myös se että dm on oikeasti negatiivinen.
ankaran pohdinnan jälkeen en ole vieläkään päässyt puusta pitkälle.
Miksi ei voi olla m dv v dm = c dm ? Jos ei oteta vielä gravitaatiota lukuun.
pakokaasujen nopeus on u, mikä on vakio. Se on vakio, koska sen määrää polttoaineen palamisreaktio. siitä seuraa että pakokaasujen (ulos lentäneiden, dm) saama liikemäärä on u dm. Sen täytyy olla samansuuruinen kuin raketin liikemäärän _muutos_ , joka on dm v m dv, missä v on raketin nopeus, dm raketin massan muutos
c on pakokaasujen nopeus maasta katsottuna....ei se mitään pakokaasujen liikemääriin vaikuta.
Rakettiyhtälö ilman gravitaatiota on yksinkertaisempi:
http://www.kotiposti.net/ajnieminen/rntt.pdf
Jos u on vakio, niin u = c - v
m dv v dm = u dm
m dv = (u - v) dm
dv/dt / (u - v) = 1/m dm/dt integrointi ajan suhteen
- ( ln(u - v) - ln u ) = ln (m/M)
(u - v) / u = M/m
v = u - uM/m ?????
Massan sijalla pitäisi olla > m - dm*t < .
> kaava on siis :
(m - dm*t)* dv/dt = c*dm
Jos haluat liittää G.n mukaan, niin perään tulee - G*(m-dm*t)
Itseasiassa tämä on helpompi ymmärtää voimatasapainotilan yhtälönä hetkellä t, ja integroinnista se että dm on painon vähenemä eli pakokaasujen massavirta joka on vakio ja integrointi on muuttujien v ja t suhteen.
Jos tarkoitus olisi laskea nopeus ajan sijasta hetkellisen massan mukaan niin kaavasi:
m dv = (u - v) dm
pitää paikkansa jos (u-v) = c , ja ratkeaa suoraan dv/dm = c/m.
Tässä tapauksessa nopeus on massan funktio ja aika on laskettava erikseen kun tunnetaan massan hupenemisnopeus.
dm ei ole siinä tekstissä massavirta vaan pieni muutos massassa.
Yritän ymmärtää tämän siitä lähtökohdasta että kappaleen liikemäärän muutosnopeus = siihen vaikuttavien voimien summa. Jos siis kappaleen liikemäärä on mv, niin sen muutosnopeus on
dp/dt = v dm/dt m dv/dt
ja voimat ovat raketin vakiotyöntövoima F = c dm/dt ja gravitaatiovoima G = mg
eli siis pitäisi olla
v dm/dt m dv/dt = c dm/dt mg
muta kun näin laskee niin päätyy vääjäämättä väärään tulokseen!
Jossain kohtaa on siis virhe mutta missä? Jos korvaan c:n tuolla u:lla joka on siis kaasun nopeus laukaisualustan suhteen niin saan oikean tuloksen mutta sitä en käsitä miksi.
Lähdön hetkellä u=c kun v=0 mutta siitä eteenpäin u pienenee ja yhtälö vaikuttaa mielettömältä ...
Erityisesti kun u=0 niin kappaleen liikemäärän muutosnopeus = mg ... ???
Ajatuksissani on nyt jokin periaatteellinen virhe ja sen kun keksin niin koen valaistumisen kuin Buddha konsanaan :D
Liikemäärähän on massa kertaa nopeus. Kun raketin nopeus ylittää pakokaasujen purkautumisnopeuden (ominaisimpulssin), raketin nopeus kyllä kasvaa edelleen, mutta massa vähenee nopeammin, eli noiden tulo pienenee. Rakettihan kevenee koko ajan kun ajoainetta kuluu.
Esimerkki:
raketin massa 100 kg, nopeus 5000 m/s, ominaisimpulssi 3000 m/s, massavirta 1 kg/s:
Kiihtyvyys on tällöin 1 kg/s * 3000 m/s / 100 kg = 30 m/s2
Liikemäärä on 5000 m/s * 100 kg = 500000 kgm/s
Sekuntia myöhemmin massa on 99 kg ja nopeus (noin) 5030 m/s, joista liikemääräksi tulee enää 497970 kgm/s.
On hieman outoa ?
Jos dm on massan muutos, ja alkuperäinen kaava derivoidaan t.n suhteen, niin olet käsitellyt termiä (u-v) vakiona, mutta integroidessa muuttujana, lisäksi myös m on aikariippuvainen ja sen muutos t.n suhteen on määritettävä.
Edelleen (u-v) = c eli vakio, kuten myös dm/dt joka on juuri se pakokaasujen massavirta.
Yhtälöä voidaan käsitellä kolmen muuttujan ryhmänä, v, m, t , jossa massan muutos aikayksikössä on tunnettu, ja jompikunpi eliminoidaan ja nopeutta käsitellään joko ajan tai massan funktiona, eikä kuten laskuesimerkeissäsi mielivaltaisesti symboleja käsittelemällä.
Jotain pitäisi kertoa se jos nopeuden muutos derivoidaan t.n suhteen ja sen jälkeen integroidaan t.n suhteen, niin pääfytään alkuperäisestä poikkeavaan tulokseen !
Totta kai !
Jo määritelmän mukaan vain liikemäärien summa on vakio, ja raketin nopeudesta riippumatta.
Niinkun joku sekoitti kaikki kirjaimet.
u, kaasun nopeus raketin suhteen on vakio
v, raketin nopeus maan suhteen muuttuu, sikäli kuin polttoainetta riittää
c = u-v, pakokaasujen nopeus maasta katsottuna, muuttuva, koska v on muuttuva ja u on vakio
u on nolla vain kun moottori on sammutettuna
en mielestäni ole derivoinut alkuperäistä yhtälöä ...
dt:llä jakaminen ei mielestäni ole derivoimista.
Esim jos on yhtälö dx = v dt ja jaan puolittain dt:llä niin tulee dx/dt = v niinkuin pitääkin.
Vai tarkoititko jotain ihan muuta?
Ja onhan massan aikariippuvuuskin siellä mukana ... ?
Ja esimerkkini mielivaltaisuus on melko tarkkaan kopioitu sieltä pdf-dokumentista :D
mutta vielä ei ole kukaan selittänyt miksi
v dm/dt m dv/dt = c dm/dt mg
ei toimi, mutta kun c vaihdetaan u:ksi joka on kaasun nopeus laukaisualustan suhteen niin sitten saadaan oikea tulos. Tämähän se kysymys oli ....
Kaavalla:
v dm/dt m dv/dt = c dm/dt mg
ei ole mitään tekemistä alkuperäisen ongelman kanssa vaikka muuttaisitkin c,n u.ksi.
Ei differentiaaliyhtälön muuttujia voi vaihtaa yksinkertaisesti jakamalla tai kertomalla uudella inf, des.osalla jos yhtälö sisöltää ko. riippuvuuksia.
en mielestäni myöskään ole vaihtanut siinä muuttujia...
kyllä yhtälön voi jakaa aina puolittain dt:llä, eihän se ole muuta kuin äärettömän pieni aikaväli.
asia havainnoillistuu paremmin kun korvaa d:t Δ:lla ja ajattelee suuria muutoksia.
jos et minua usko niin katso sieltä alkuperäislähteestä miten asiaa on lähestytty ...
siellä on ihan samalla tavalla hypätty v dm - tyyppisestä yhtälöstä aikaderivaattayhtälöön.
Olen nyt miettinyt sitä että jos istun kivireessä joka liukuu nopeudella v kitkattomalla jäällä, ja pudottelen kiviä reen sivuille niin että nekin jatkavat samaan kulkusuuntaan nopeudella v, niin silloin reen nopeus ei muutu mutta massa vähenee joten liikemäärä vähenee. "Reen massa" on siis minun, kivien ja itse reen yhteismassa.
Eli siis reelle pätee dp = m dv v dm < 0 (dv = 0 ja dm negatiivinen) liikemäärän säilyminen sanoo että reen vierustalle tiputeltujen kivien liikemäärä kasvaa yhtä paljon joten kokonaismuutos liikemäärälle on nolla. Tiputeltujen kivien nopeus siis vakio v mutta niiden yhteismassa kasvaa joten liikemäärä kasvaa.
Toisin sanoen liikemäärä voi muuttua ilman mitään voimavaikutuksiakin jos tarkastellaan vain osaa kokonaissysteemistä.
Mutta entäs kun alan heitellä niitä kiviä taaksepäin nopeudella c rekeen nähden?
Reen liikemäärän muutos on yhtä suuri kuin kivien liikemäärän muutos mutta negatiivisena.
Nyt pitäisi olla m dv v dm = - (-dm) (v c)
jossa dm on negatiivinen koska se on reen massan "pienentymä" = heitettyjen kivien massa negatiivisena ja v c on heitettyjen kivien nopeus jään tai jäällä seisovan tarkkailijan suhteen. v ja c ovat tässä vektoreita joten v c tarkoittaa skalaareina v - c ...
No nyt v c on se mystinen u. Eli reen liikemäärän muutos on u dm !!!!
Ja tästä saadaan m dv = (u - v) dm = c dm ! Joka on oikein, massa kertaa kiihtyvyys = voima.
Nyt alkaa vihdoin valjeta missä tein virheen alunperin. Survoin väkisin kaikki voimat yhtälön oikealle puolen ja reen liikemäärän muutoksen vasemmalle mutta sehän ei ole oikein, koska kuten yllä totesin niin pelkkä liikemäärän muutos ei vielä tarkoita voimien olemassaoloa !!!
Nyt alkaa myös se väite tuntua ymmärrettävältä että raketin liikemäärän muutos = u dm
c = u - v = kaasun nopeus maapallon suhteen
Kun raketin nopeus v on nolla, niin c = u elikkä kaasun nopeus raketin ja maapallon suhteen on sama, niinkuin järkikin sanoo.
Hmm, mahdattekohan puhua rakettiyhtälöstä samoilla merkinnöillä. Pakokaasut saavat liikemäärän dm*[b]u[/b], joka siis voi olla raketin suuntaan tai ei. Kun rakettiyhtälön johtaa pidemmälle, niin näkee että nimenomaan nopeuksien erotus [b]c=v-u[/b] ratkaisee työntävän voiman suunnan. Ja tuo erotus on vakio.
Vaikka kirjaimia latinalaisessa aakkostossa onkin rajallinen määrä niistä saa aikaan melkoisen sotkun vaihtamalla niiden merkitystä mielivaltaisesti. Ainstein tuolla heittelee kiviä reestä milloin milläkin nopeudella ja milloin minkäkin suhteen. Alkuperäinen tilanne oli kuitenkin se, että kiviä piti heittää reestä nopeudella u, nopeus siinä mitataan reestä nähden, ja se on vakio ellei ainstein väsy. v taas on reen nopeus.
c on se pakokaasun nopeus raketista mitattuna/kivien nopeus reestä mitattuna. Se miksi välillä vaihdoin u:n ja c:n johtui vain siitä että joku epäili painovirhettä (kuten itsekin) mutta pieni laskeskelu osoitti että sekin tuotti vesiperän.
Mutta omaksi tyydytyksekseni sain ymmärrettävän ratkaisun tuon kivirekiajatuskokeen kautta ....
selitin sen niin ymmärrettävästi kuin osasin.