Miten saadaa esimerkiksi paraabelia kuvaavan käyrän ja x-akselin väliin jäävän alueen mittayksiköksi fyysisen
pinta-alan mittayksikkö, esim. m²? Olkoon funktio vaikka y = x² x 1, niin integraali on välillä[0,x]
x³/3 x²/2 x C. Miten tästä saa dimensioksi m² ? Jos sekä x- että y-akseli on merkitty esittämään pituutta
yhtä pitkin välein, siis metrejä, tulos on suure nimeltä pinta-ala, yksikkö m². Jos kyseessä on suorakaide,
on sen ala tunnetusti pituus*leveys, eikä ristiriitaa mittayksikössä ole.
Integroitaessa edellä olevassa tapauksessa saadaan kolmannen asteen polynomi. Kuinka m³ m² m C voidaan
summata ja saada tulokseksi pinta-alan yksikkö. Integraalivakio C, ei tässä auta, sehän ei ole kerroin vaan
termi. Kun taas esim. Gravitaatiovoimaa laskettaessa, on käytössä gravitaatiokerroin, joka sisältää tarvittavat yksiköt. Tulokseksi saadaan siten voiman mittayksikkö N.
Tämä asia taitaa olla päivänselvä, mutta itse en ole hoksannut. Esitän tämän matematiikka-palstalla, vaikka
tavallaan sisältää myös fysiikkaa. Kai matemaatikot ovat perillä myös fysiikasta.
pinta-alan mittayksikkö, esim. m²? Olkoon funktio vaikka y = x² x 1, niin integraali on välillä[0,x]
x³/3 x²/2 x C. Miten tästä saa dimensioksi m² ? Jos sekä x- että y-akseli on merkitty esittämään pituutta
yhtä pitkin välein, siis metrejä, tulos on suure nimeltä pinta-ala, yksikkö m². Jos kyseessä on suorakaide,
on sen ala tunnetusti pituus*leveys, eikä ristiriitaa mittayksikössä ole.
Integroitaessa edellä olevassa tapauksessa saadaan kolmannen asteen polynomi. Kuinka m³ m² m C voidaan
summata ja saada tulokseksi pinta-alan yksikkö. Integraalivakio C, ei tässä auta, sehän ei ole kerroin vaan
termi. Kun taas esim. Gravitaatiovoimaa laskettaessa, on käytössä gravitaatiokerroin, joka sisältää tarvittavat yksiköt. Tulokseksi saadaan siten voiman mittayksikkö N.
Tämä asia taitaa olla päivänselvä, mutta itse en ole hoksannut. Esitän tämän matematiikka-palstalla, vaikka
tavallaan sisältää myös fysiikkaa. Kai matemaatikot ovat perillä myös fysiikasta.
Vastaukset 8
Vanhimmat
Riemannin integraali perustuu siihen, että tasokuvio jaetaan suorakulmioihin, jakoa tihennetään rajatta ja jaosta supremum. Jos siis pinta-alat ovat A_1 m^2, A_2 m^2,..., niin niiden summa on A_1 m^2 A_2 m^2, josta voidaan m^2 ottaa yhteiseksi tekijäksi, eli saadaan (A_1 A_2 ...)m^2.
Niiden summa on tietenkin A_1 m^2 A_2 m^2 ... .
Jos pinta-ala x:n funktiona on ax^3 bx^2 c^x d ja x annetaan metreinä [m], niin silloin kertoimien yksiköiden pitää olla:
a: [1/m], b: dimensioton, c: [m], d: [m^2]. Yksiköiden pitää siis sisältyä kertoimiin. Matematiikassa nämä yksikköasiat sivuutetaan vaitiololla. Sovelluksissa ne pitää ottaa huomioon.
Kiitos vastauksista kaikille, mm. laskukallelle ja yxikkölle. Vaikka olen aikoinaan matikkaa vähän lukenutkin,
on kai jäänyt vähemmälle huomiolle, että kyse on ns. puhtaasta matematiikasta. Yksikköasiat
jäävät sovellettujen tieteitten kuten fysiikan, lujuusopin ym. käsittelyyn. Yksiköiden pitää sisältyä kertoimiin. Elikkä m² otetaan yhteiseksi tekijäksi, tässä tapakuksessa.
Ei ole järkevää puhua pinta-alasta x^3, jos x on annettu metreinä. Jos integraalit hämäävä, niin kannattaa muistaa, että siinä summataan pinta-aloja, joten yksiköt täsmäävät
Olkoon parabeli y = ax^2. Tämä tietysti tarkoittaa, että käyrän pisteen y-koordinaatti, eli etäisyys x-akselista on ax^2. Jos x annetaan metreinä niin x^2:n yksikkö on silloin [m^2]. Jotta etäisyys y tulisi metreinä, niin kertoimen a yksikön pitää olla [1/m].
Tai sitten voidaan ajatella oikein, eli että a:lla ja x:llä ei ole yksikköä vaan ax^2 on luku ja ax^2 m on pituus, ax^2 metriä. Mitään yksikkökikkailuja ei tarvita.
Joo, mutta kysymys oli kai siitä, että tätä alkuperäistä luultavasti hämäs se, että kun abskissan x yksikkö nyt kuitenkin on tuo m.