Miten voi todistaa että tämä
f(x,y) = ((x y)^2 3x y)/2
on bijektio NxN->N
Ja mitä tuo f(x,y) oikein tarkoittaa? Eikö yleensä ole f(x), joka tarkoittaa y.
Osaisiko joku edes vähän avata miten tästä pitäisi lähteä jotain laskemaan tai päättelemään. Olen ihan ulapalla!
f(x,y) = ((x y)^2 3x y)/2
on bijektio NxN->N
Ja mitä tuo f(x,y) oikein tarkoittaa? Eikö yleensä ole f(x), joka tarkoittaa y.
Osaisiko joku edes vähän avata miten tästä pitäisi lähteä jotain laskemaan tai päättelemään. Olen ihan ulapalla!
Vastaukset 3
Vanhimmat
Eikös bijektio tarkoita yleensä sellaista funktiota, että jokaista lähtöjoukon alkiota vastaa yksikäsitteinen maalijoukon alkio? Ehdoton vaatimus tällaiselle on, että lähtö- ja maalijoukkojen dimensio on sama. Tässä se ei toteudu, joten jotain on pielessä.
Tee muuttujan vaihto x y = a. (Eliminoi x)
Syntyvää käyräparvea analysoimalla toteat tuon suhteellisen helposti injektioksi.
Surjektio onnistuu samalla vaihdolla ja induktiolla. Oleta, että arvoilla a ja y saat arvon m, kuinka a ja y tulee valita, että saat m 1. (Jos y > 0 niin valinta on helppo, jos ei niin kuinka tuo valinta tehdään?!?)
On siis kyseessä funktio N x N -> N. Vaikka ei ole määritelty mikä N tarkalleen on, niin tehtävä on mielekäs vain jos N koostuu luonnollisista luvuista ja 0:sta.
Jos olisi funktio RxR -> R, niin silloin se ei voi olla bijektio, koska toisen asteen pinnan
z = ((x y)^2 3x y )/2 tasa-arvokäyrillä funktio saa samat arvot.
Jos kyseessä olisi funktio ZxZ-> Z (pos. ja neg. kokonaisluvut ja 0), niin silloinkaan ei voi kyseessä olla bijektio, koska f(0,0) = 0 ja myös f(-1,-1) = 0.
Lasketaan malliksi muutamia funktion arvoja:
(0,0): 0
(0,1): 1, (1,0): 2
(0,2): 3, (1,1): 4, (2,0): 5
(0,3): 6, (1,2): 7, (2,1): 8, (3,0): 9
... Vaikuttaa lupaavalta!
Edellä annetun vihjeen mukaisesti asetetaan x y = a, mistä y = a - x. f(x,y) tulee muotoon
(a^2 2x a) / 2 = (a(a 1))/2 x. Tämä on aina luku N:ssä, kun a ja x kuuluvat joukkoon N.
Kun siis kuljetaan alaspäin suoraa x y = a niin funktion f(x,y) arvo kasvaa yhdellä, kun x kasvaa yhdellä. Ylimmässä pisteessä (0,a) funktio saa arvon (a(a 1))/2 ja alimmassa pisteessä (a,0) se saa arvon
(a(a 1))/2 a = (a(a 3))/2.
Näin ollen seuraavan suoran x y = a 1 ylimmässä pisteessä (0,a 1) funktio saa arvon ((a 1)(a 2))/2. Se on funktion arvo suoran x y = a alimmassa pisteessä 1. Täten f(x,y) saa kaikki arvot 0,1,2,.. kun kuljetaan läpi suorien x y = a (a = 0,1,2,..) kokonaislukupisteet annetulla tavalla. Kukin arvo esiityy vain kerran.
Vielä olisi osoitettava, että mainitulla kulkujärjestyksellä saadaan kaikki joukon NxN pisteet. Mielivaltainen piste (x1,y1) (x1 ja y1 kuuluvat joukkoon N) on suoralla x y = (x1 y1), joten kyllä tämä piste sieltä vastaan tulee.